Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 4c
Identificar as afirmações verdadeiras:
a) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
Passo 1
Vamos começar vendo qual é a definição de bola aberta. Ela é uma figura que tem por equação:
Ou seja, é a parte interna de uma circunferência, sem contar a borda dela (inclusive por isso ela é um conjunto aberto). Enquanto isso, um conjunto conexo é um conjunto que não tem nenhuma divisão nele, de modo que duas ou mais partes do conjunto fiquem completamente separadas.
Passo 2
Então o que a gente tem que analisar é se, juntando duas bolas abertas, a gente forma um conjunto conexo. Vamos tentar resolver graficamente?
Se a gente pegar duas bolas abertas, de forma que uma esteja contida na outra, o conjunto da união delas pode ser representado só pela bola de fora, então nesse caso a união é sim um conjunto conexo, já que tá todo mundo ali naquela região bonitinha, e pode ser facilmente ligado por uma linha.
Se a gente considerar duas bolas, de forma que uma não esteja totalmente contida na outra, a coisa muda: agora, o conjunto união delas deixou de ter até mesmo o formato de uma circunferência, então deixou de ser uma bola aberta. Mas isso não impede que seja um conjunto conexo! Como a gente pode ver, ao juntar as duas, continuamos com uma parada que não tem nenhuma divisão no meio, de modo que podemos ligar os pontos tranquilamente, e por isso, é conexo.
Só tem um caso que ferra a gente: se elas estiverem bem na pontinha encostadas, ou mesmo separadas.
Como que a gente vai ligar os dois conjuntos nesse caso sem passar por fora de um deles? Não tem como! Por isso, essa é falsa.
Resposta
Falsa.