Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 13

As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção. Em seguida, encontre a área da região.

∫ 0 6 ∫ y 2 3 2 y d x   d y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Nos exercícios anteriores tínhamos definido a integral pela função, agora de maneira contraria vamos encontrar a função pela integral. Sendo assim, nós temos que a função que limita os pontos é dado por x, veja que x = y 2 3 e vai até x = 2 y . Se fizermos um esboço dessas funções temos:

Onde temos, como mostrado na integral y indo de 0 a 6.

Passo 2

Para acharmos os pontos de interseção, basta igualarmos as equações. Assim:

y 2 3 = 2 y

y 2 - 6 y = 0

y = 6 ± 6 2 - 4 × 1 × 0 2

y 1 = 0

y 2 = 6

Onde comprovamos pela figura que (0,6) são de fato os pontos de interseção.

Passo 3

∫ 0 6 ∫ y 2 3 2 y d x   d y

∫ 0 6 2 x - y 2 3 d y

x 2 - 1 9 y 3 0 6

36 - 2 × 3 3 3 2

2 × 3 2 - 2 3 3

2 2 3 2 - 2 3 3

2 2 3 2 - 6

2 2 3

12

Resposta

Os pontos de interseção são:

y 1 = 0

y 2 = 6

Valor da integral:

12

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo I I . Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x d A , Dél i m i t a d ap e l a sr e t a sy = x ,y = 0 , x = 1 é
Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo I I . Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x y d A , Dél i m i t a d ap e l a sr e t a sy = x 2 ,y = 3 x é
Calcule a integral dupla. ∬ D y d A , Déar e g i ã ot r i a n g u l a rc o mv e r t i c e s0,0 ,1,1 ,e4,0 é ã
Calcule a integral dupla. ∬ D x y d A , Déd e l i m i t a d ap e l oq u a r t od ec í r c u l oy = 1 - x 2 ,x ≥ 0eo se i x o s . é í
Calcule a integral dupla. ∬ D ( 2 x - y ) d A , Déd e l i m i t a d ap e l oc i r c u l oc o mc e n t r on ao r i g e mer a i o2 é