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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 17

As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção. Em seguida, encontre a área da região.

∫ - 1 0 ∫ - 2 x 1 - x d y   d x   + ∫ 0 2 ∫ - x 2 1 - x d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Nos exercícios anteriores tínhamos definido a integral pela função, agora de maneira contraria vamos encontrar a função pela integral. Sendo assim, nós temos que a função que limita os pontos é dado por y, veja que y = - 2 x ;     y = - x 2 e vão até a função que as limita nesse intervalo, ou seja y = 1 - x . Se fizermos um esboço dessas funções temos:

Onde temos, como mostrado na integral x indo de (-1,0) e depois (0,2)

Passo 2

Para acharmos os pontos de interseção, basta igualarmos as equações. Assim:

1 - x = - 2 x

x = - 1

E para a segunda:

1 - x = - x 2

1 = - x 2 + x

1 = x 2

x = 2

Onde comprovamos pela figura que (-1, 2) são de fato os pontos de interseção.

Passo 3

∫ - 1 0 ∫ - 2 x 1 - x d y   d x + ∫ 0 2 ∫ - x 2 1 - x d y   d x

∫ - 1 0 1 - x + 2 x d x     + ∫ 0 2 1 - x + x 2 d x

x + 1 2 x 2 - 1 0 + x - 1 4 x 2 0 2

- 1 + 1 2 + 2 - 1

1 2 + 1

3 2

Resposta

Os pontos de interseção são:

x = - 1

x = 2

Valor da integral:

3 2

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