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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7l

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 , 1 ] , y varia de 2 x a x + 1 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 1 , 2 x <= y <= x + 1}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = y - 1

E

x = (y)/(2)

Então, dividindo a figura em duas partes e redefinindo essas inequações, tem-se:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^1 [int_(2 x)^(x + 1) f (x , y) d y] d x = int_0^1 [int_0^(y // 2) f (x , y) d x] d y + int_1^2 [int_(y - 1)^(y // 2) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^1 [int_0^(y // 2) f (x , y) d x] d y + int_1^2 [int_(y - 1)^(y // 2) f (x , y) d x] d y

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)