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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8f

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação x ≤ y ≤ 1 . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E

x ≤ y ≤ 1

Ou:

0 ≤ y ≤ 1

E

0 ≤ x ≤ y

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 y   e y 2 - 0 d x d y

Resolvendo a integral em relação à x :

V = ∫ 0 1 e y 2 x | x = y x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ 0 1 y e y 2 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação à y , podemos resolver através do método da substituição simples, com u = y 2 e d u = 2 y d y . Além disso, substituindo a variável de integração, o intervalo irá se alterar também:

Quando y = 1 → u = 1

Quando y = 0 → u = 0

Então:

V = ∫ e u d u 2 | u = 1 u = 0

V = e u 2 | u = 1 u = 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = 1 2 e - 1

Resposta

1 2 e - 1

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