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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7p

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a pi , para cada valor de x fixo em [ 0 , pi ] , y varia de 0 a s e n x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= pi , 0 <= y <= s e n x}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = s e n^(- 1) y

No entanto, essa equação representa apenas metade da curva original. Logo, a outra metade é dada por:

x = pi - s e n^(- 1) y

E o esboço, com as variáveis reorganizadas:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^(pi) [int_0^(s e n x) f (x , y) d y] d x = int_0^1 [int_(s e n^(- 1) y )^(pi - s e n^(- 1) y) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^1 [int_(s e n^(- 1) y )^(pi - s e n^(- 1) y) f (x , y) d x] d y

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