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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 4

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa

  1. Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R 3 e C for um círculo qualquer, então ∫ C ∇ f ∙ d r → = 0 .

Passo 1

Faala, beleza?

Essa questão pede pra gente conferir se uma afirmação é verdadeira. Ela diz que:

∫ C ∇ f   ∙ d r = 0

Onde C é um círculo qualquer.

Sabemos também, pela afirmação, que f tem derivadas de todas as ordens contínuas.

Nessa questão vamos usar o teorema fundamental das integrais de linha:

∫ C ∇ f ∙ d r → = f r → b - f r → a

Onde r → t é uma parametrização da curva C , a ≤ t ≤ b .

Passo 2

Bom... como C é um círculo, podemos falar que ele é um caminho fechado. Ou seja, o ponto final dele é igual ao seu ponto inicial:

r → b = r → a

Daí, sabemos que:

f r → b = f r → a

E como f tem derivadas parciais em todas as ordens contínuas (ele quis dizer que ∇ f sempre vai ser contínua), daí podemos aplicar o teorema fundamental das integrais de linha:

∫ C ∇ f ∙ d r → = f r → b - f r → a

Daí:

∫ C ∇ f ∙ d r → = 0

Então é VERDADEIRO.

Resposta

VERDADEIRO

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