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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 31

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem?!

Hoje vamos resolver um problema que envolve a aproximação de uma integral definida usando uma série de potências.

Nosso objetivo é encontrar a série de potência da função x   a r c t g 3 x e, em seguida, utilizar essa série para calcular a integral com a precisão de seis casas decimais.

Para isso, precisamos primeiramente encontrar a série de potência da função a r c t g 3 x . Sabemos que a derivada da função a r c t g x é 1 1 + x ² , e podemos utilizar a série de potências dessa derivada para encontrar a série de potências da função a r c t g x através da integração.

A série de potências de 1 1 + x ² é:

1 1 + x ² = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n

Passo 2

Integrando termo a termo, obtemos a série de potências de a r c t g x :

a r c t g x = ∫ ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n d x

a r c t g x =   C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1

Para determinar a constante de integração C , avaliamos a função a r c t g x em x = 0 :

a r c t g 0 = 0

C = 0

Portanto, a série de potências de a r c t g x é:

a r c t g x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1

Substituindo x por 3 x para obter a série de a r c t g 3 x , temos:

a r c t g 3 x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 3 x ) 2 n + 1 2 n + 1

Passo 3

Agora que temos a série de potências para a r c t g 3 x , podemos encontrar a série de potências para x   a r c t g 3 x :

x   a r c t g 3 x =   x   ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 3 x ) 2 n + 1 2 n + 1

x   a r c t g 3 x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 3 2 n + 1 ∙ x 2 n + 2 2 n + 1

Com essa série de potências, podemos agora calcular a integral:

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x = ∫ 0 0,1   ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 3 2 n + 1 ∙ x 2 n + 2 2 n + 1 d x

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 2 n + 1 2 n + 1 ∫ 0 0,1   x 2 n + 2   d x

Calculando a integral de cada termo:

∫ 0 0,1   x 2 n + 2   d x = x 2 n + 3 2 n + 3 0 0,1

= ( 0,1 ) 2 n + 3 2 n + 3

Portanto, a integral se torna:

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) ( 0,1 ) 2 n + 3

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos da série para obter uma aproximação com precisão de seis casas decimais.

Primeiro termo ( n = 0 ) :

- 1 0 3 2 . 0 + 1 ( 2 . 0 + 1 ) ( 2 . 0 + 3 ) ( 0,1 ) 2 . 0 + 3 = 3 1   .   3 ( 0,1 ) 3 = 0,001

Segundo termo ( n = 1 ) :

- 1 1 3 2 . 1 + 1 ( 2 . 1 + 1 ) ( 2 . 1 + 3 ) ( 0,1 ) 2 . 1 + 3 = - 27 3   .   5 ( 0,1 ) 5 = -   0,00 00 1 8

Terceiro termo ( n = 2 ) :

- 1 2 3 2 . 2 + 1 ( 2 . 2 + 1 ) ( 2 . 2 + 3 ) ( 0,1 ) 2 . 2 + 3 = 24 3 5   .   7 ( 0,1 ) 7 = 0,00 0000486

A soma desses termos fornece uma boa aproximação da integral:

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x ≈   0,001 -   0,000018   + 0,000000486

≈ 0,000983

Resposta

∫ 0 0,1 x   a r c t g 3 x d x = 0,000983

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