Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 30

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.

30.

Passo 1

Galera, tudo beleza?

Olha só, o enunciado jogou pra gente uma integral. Precisamos resolvê-la em formato de uma série de potências e o resultado com precisão de seis casas decimais! Moleza, hein?

Primeiro, vamos nos preocupar em escrever a integral como série de potências, ok?

A nossa função precisa ter uma carinha de série geométrica, assim:

Passo 2

Vamos usar o seguinte:

Agora vamos manipular a função dentro da integral para representar como uma série de potências:

Derivando novamente, pode perceber que o valor de vai começar em :

Se trocarmos por , saberemos que:

Passo 3

Show! Agora vamos integrar!

Aplicando os limites de integração:

Como a série é alternada, se aproximarmos a soma da série pela soma parcial dos dois primeiros termos, o erro é no máximo o terceiro termo:

Então, pra obter a precisão de seis casas decimais, podemos mesmo aproximar assim:

Resposta

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(a) Começando com a série geométrica ∑ n = 0 ∞ x n , encontre a soma da série ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 x1 (b) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.(i) ∑ n = 1 ∞ n x n ,x1 (ii) ∑ n = 1 ∞ n 2 n (c

A função de Bessel de ordem 1 é definida por J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 Mostre que J 1 satisfaz a equação diferencial x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x = 0 Mostre

(a) Mostre que J 0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0 (b) Calcule ∫ 0 1 J 0 ( x ) d x com precisão de três casas

Use o resultado do Exemplo 7 para calcular arctg 0,2 com precisão de cinco casas decimais.

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais. ∫ 0 0,1 xa r c t g 3 x d x