Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A1 a (A4) , (M1) a M4 , D , O1 a O4 , (OA) e (O M) . Supondo x , y reais quaisquer, prove:

Se x >= 0 e y >= 0 , x^2 = y^2 ↔ x = y

Passo 1

Primeiro vamos manipular a expressão x 2 = y 2 :

x 2 = y 2 ↔ x 2 - y 2 = 0

Vamos manipular agora a expressão x 2 - y 2 , vemos que dá pra usar produtos notáveis para destrinchar um pouco, vamo fazer isso então:

Vamos lembrar desse produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Pronto, se encaixa direitinho na expressão, vamos aplicar então:

x 2 - y 2 = 0 ↔ x - y x + y = 0

Temos que:

x - y x + y = 0 ↔ x - y = 0 ou x + y = 0

Temos da hipótese que x ≥ 0 e y ≥ 0 , temos então que:

x + y = 0 só ocorrerá se x = 0 e y = 0

Assim, se x ≥ 0 e y ≥ 0 , x 2 = y 2 ↔ x = y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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