Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

1 / (1 + (3 / 4) * x^3)

Passo 1

Fala pessoaaal, tudo tranquilinho? Então vamos lá pra mais uma questão de Série de Taylor!

O primeiro ponto que devemos tratar é escrever os termos da série conhecida que é trazida no enunciado.

O que nos é facilitado porque assim como o enunciado disse, deriva de uma série conhecida! Dessa forma, temos os seguintes termos na literatura:

1 1 + x = 1 - x + x 2 - …

E assim vai... Podemos então escrever a função da série acima como:

1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

1 1 + 3 4 x 3   = 1 - 3 4 x 3 + 9 16 x 6 - 27 64 x 9 + …

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a: 1 1 + 3 4 x 3     = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 4 x 3 n

Simplificando matematicamente, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 4 n x 3 n

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 4 n x 3 n   = 1 - 3 4 x 3 + 9 16 x 6 - 27 64 x 9 + …

Massa né?! Até a próxima questão, galera!

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