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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 96c

No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função

T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ x   s e n ( ω t - λ x )

onde ω = 2 π / 365 e λ é uma constante positiva.

(c) Mostre que T satisfaz a equação do calor T t = k T x x para uma certa constante k .

Passo 1

Opa, tudo certo? Aqui temos:

T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ x   s e n ( ω t - λ x )

Essa é uma função da temperatura T em função do tempo t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés), onde ω = 2 π / 365 e λ é uma constante positiva.

Para resolver esse item c), nós vamos calcular cada uma das derivadas parciais, tanto com relação a x ,   quanto a t , e depois jogar na tal da equação do calor e ver se tudo está ok, beleza?

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada temporal

T t = ∂ T ∂ t = ∂ ∂ t T 0 + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Aqui vamos usar a regra da cadeia para derivar o seno. Obtemos:

T t = T 1 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x ω

Show!

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda em x .

Começando pela derivada primeira:

T x = ∂ T ∂ x

T x = ∂ ∂ x T 0 + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Assim como no item a), vamos usar a regra do produto para fazer essa derivada da exponencial multiplicando a função seno.

T x = T 1   - λ e - λ x s e n ω t - λ x + e - λ x cos ⁡ ω t - λ x - λ

Botando λ em evidência:

T x =   - λ   T 1   e - λ x s e n ω t - λ x + e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Agora, a derivada segunda é simplesmente a derivada de T x :

T x x = - λ   T 1 ∂ ∂ x   e - λ x s e n ω t - λ x + e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Agora já estamos prontos pra fazer a segunda derivada! Vamos usar a regra do produto nos dois termos, mas vamos com calma...

T x x = - T 1 λ - λ e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x + e - λ x cos ⁡ ω t - λ x - λ - s e n ω t - λ x - λ

Podemos colocar λ em evidência, bem como e - λ x :

T x x = T 1 λ 2 e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x - s e n ω t - λ x

Repare que os senos podem ser cancelados, aí ficamos com

T x x = 2 T 1 λ 2 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Show!

Passo 4

Agora vamos jogar lá na equação do calor!

T t = k T x x

T 1 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x ω = k 2 T 1 λ 2 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Agora é só simplificar os termos iguais!

ω = 2 k λ 2

k = ω 2 λ 2

Show! Mostramos que esse T obedece essa equação do calor :D

Resposta

Demonstração.

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