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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 10g

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x t ,   t ≥ 0 . Determine x = x t , sabendo que

d )   d x d t = 1 1 + t 2   e   x 0 = 0

Passo 1

Se temos:

d x d t = 1 1 + t 2

Esse é um caso mais específico:

Sabemos que:

tan ⁡ t = x → arctan ⁡ x = t

Assim:

d tan ⁡ x d t = d x d t → sec 2 ⁡ x d x d t = 1 → d x d t = 1 sec 2 ⁡ x  

Lembrando que 1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x , então:

d x d t = 1 1 + tan 2 ⁡ x

Como mostramos acima tan ⁡ t = x , logo:

d x d t = 1 1 + t 2

Então a derivada de x t = arctan ⁡ t é 1 1 + t 2

Então:

∫ d x = ∫ 1 1 + t 2 d t

x t   = ∫ 1 1 + t 2 d t = arctan ⁡ t + k

Passo 2

x t = arctan ⁡ t + k

Se quisermos k , vamos substituir na equação:

x 0 = arctan ⁡ 0 + k = k

Como o exercício disse que x 0 = 0 , então podemos igualar os valores de x 0 e achar o valor de k:

0 = k

Então:

x t = arctan ⁡ t

Resposta

x x = arctan ⁡ t

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