93. Se f(x, y) = x * (raiz(x^2 + y^2) - 3/2) ^ e^(sen(x^2 * y)) , determine f_x(1,0) . [Sugestão: Em vez de achar f_x(x, y) primeiro, observe que é mais fácil utilizar a Equação 1 ou a Equação 2.]

Passo 1

As equações às quais o enunciado se refere são

f x a , b = g ' a ,   g x = f ( x , b )

f x a , b = lim h → 0 ⁡ f a + h , b - f ( a , b ) h

Por conta disso, para resolver essa questão iremos encontrar a função g x   para que possamos calcular

g ' a = lim h → o ⁡ g a + h - g ( a ) h

Obtido esse resultado, conseguimos por consequência encontrar f x ( 1,0 ) que a questão nos solicita

Passo 2

Para começar, vamos obter a função g ( x )

f x , y = x ( x 2 + y 2 - 3 / 2 e s e n x 2 y )

g x = f x , 0 = x ( x 2 + y 2 - 3 / 2 e s e n x 2 y )

g x = x x 2 - 3 / 2 = x x - 3

g x = x - 2

Passo 3

Obtida a função g ( x ) , podemos calcular sua derivada a partir da equação referida pelo problema. Lembrando que queremos o ponto tal que x = 1 , y = 0 .

d g x d x = g ' x = lim h → 0 ⁡ g a + h - g ( a ) h   ⁡

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h - 2 - 1 - 2   h  

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 1 + 2 h + h 2 - 1 h

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 - 1 - 2 h - h 2 h ( 1 + 2 h + h 2 )

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ - 2 h - h 2 h ( 1 + 2 h + h 2 )

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ - 2 - h ( 1 + 2 h + h 2 ) = - 2

A partir de uma das equações dadas pelo problema, f x 1,0 = g ' 1 , de modo que

f x 1,0 = - 2

Resposta

f x 1,0 = - 2

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