Se V x , y é o potencial elétrico em um ponto x , y no plano x y , então as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais porque em todos os pontos de tal curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais se V x , y = c / r 2 - x 2 - y 2 , onde c é uma constante positiva.

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:

V x , y = c r 2 - x 2 - y 2

Onde c é uma constante positiva e r é o raio do campo elétrico.

Queremos fazer o esboço de algumas curvas equipotenciais significa fazer um mapa de contorno, onde as curvas de nível são definidas pelas curvas equipotenciais.

Para se desenhar o mapa de contorno, precisa-se chegar à função das curvas de nível (equipotenciais).

Para isso, basta fazer V x , y = k e depois ir variando k (dando valores) para representar algumas curvas de nível no mapa.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Igualando a função a k , temos:

V x , y = c r 2 - x 2 - y 2 = k

Reorganizando, temos:

c k = r 2 - x 2 - y 2 ∴

c k 2 = r 2 - x 2 - y 2 ∴

x 2 + y 2 = r 2 - ( c k ) 2

Essa é a equação de um círculo centrado na origem.

Variando k , chega-se ao seguinte mapa de contorno com as equipotenciais:

Vale notar que quando k → ∞ , o raio do círculo se aproxima de r .

Resposta

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