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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 9

Seja f x , y = x x 2 + y 2 .   Desenhe a imagem da curva γ t = ( x t , y t , z t ) , onde x t = R   c o s t ,   y t = R   s e n t   e z = f ( x , y ) (R>0) . Como é o gráfico de f ?

Passo 1

Vamos tentar desenhra primeiro a curvaa γ , beleza?

Perceba que ela já parecer com uma curva que conhecemos( γ t = ( c o s t ,   s e n t ,   t ) , então, isso nos dá mais ou menos a ideia do que poderá ser. Nossa curva a ser desenhada é

γ t = ( R c o s t , R   s e n t , cos ⁡ T R ) .   Sacou por q?

Quando substituimos os valores de x , y dependendo de t , nossa função tem a cara

f t = R cos ⁡ t   R 2 cos 2 ⁡ t + R 2 s e n 2 t = c o s t R .

Perceba que nossa curva vai ser fechada, por conta das coordenadas x e z . E que o R é quem determina abertura da curva ( se vai ser mais fechadinha, abertinha).

Vamos desenhar, então.

Passo 2

Para desenhar a curva, precisamos do auxílio de um software. Mas, dá pra ter uma ideia do que vai aparecer, se olharmos para as curvas de nível, temos que próximo a origem temos retas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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