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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 28

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 s + 1 ( s 2 - 4 s ) ( s + 5 )

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 s + 1 ( s 2 - 4 s ) ( s + 5 ) =   L - 1 s + 1 s ( s - 4 ) ( s + 5 )

Aqui a gente vai tirar as frações parciais assim:

s + 1 s s - 4 s + 5 = A s + B s - 4 + C s + 5

Vamos descobrir esse A ,   B   e   C aí...

Passo 2

Vamos ter:

s + 1 = A s - 4 s + 5 + B s s + 5 + C ( s ) ( s - 4 )

s + 1 = A s 2 + s - 20 + B s 2 + 5 s + C ( s 2 - 4 s )

Daí tiramos que:

A =   - 1 20 ;     B = 5 36 ;     C = - 4 45

Nossa expressão então fica:

s + 1 ( s 2 - 4 s ) ( s + 5 ) = - 1 20 s + 5 36 s - 4 - 4 45 ( s + 5 )  

Passo 3

E aí iremos fazer:

L - 1 s + 1 ( s 2 - 4 s ) ( s + 5 ) = - 1 20   L - 1 1 s + 5 36 L - 1 1 s - 4 - 4 45 L - 1 1 s + 5

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

- 1 20   L - 1 1 s = - 1 20

5 36 L - 1 1 s - 4 = 5 36 e 4 t

- 4 45 L - 1 1 s + 5 = - 4 45 e - 5 t

Agora, juntamos os dois:

L - 1 s + 1 ( s 2 - 4 s ) ( s + 5 ) = - 1 20 + 5 36 e 4 t - 4 45 e - 5 t

E prontinho! 😉

Resposta

L - 1 s + 1 ( s 2 - 4 s ) ( s + 5 ) = - 1 20 + 5 36 e 4 t - 4 45 e - 5 t

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