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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 30

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 s - 1 s 2 ( s 2 + 1 )

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 s - 1 s 2 ( s 2 + 1 )

Como a gente tem um termo linear repetido e um termo quadrático irredutível aqui, a gente vai tirar as frações parciais assim:

s - 1 s 2 ( s 2 + 1 ) = A s + B s 2 + C s + D s 2 + 1

Vamos descobrir esse A ,   B ,   C   e   D aí...

Passo 2

Vamos ter:

s - 1 = A s s 2 + 1 + B s 2 + 1 + C s + D s 2

s - 1 = A s 3 + A s + B s 2 + B + C s 3 + D s 2

s - 1 = s 3 A + C + s 2 B + D + s A + B

Daí temos que:

A + C = 0

B + D = 0

A = 1

B = - 1

E com isso:

C = - 1

D = 1

Nossa expressão então fica:

s - 1 s 2 ( s 2 + 1 ) = 1 s - 1 s 2 + - s + 1 s 2 + 1

Passo 3

E aí iremos fazer:

L - 1 s - 1 s 2 ( s 2 + 1 ) = L - 1 1 s - L - 1 1 s 2 - L - 1 s s 2 + 1 + L - 1 1 s 2 + 1

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

L - 1 1 s = 1

L - 1 1 s 2 = t

L - 1 s s 2 + 1 = cos ⁡ t

L - 1 1 s 2 + 1 = sen ⁡ t

Agora, juntamos tudo:

L - 1 s - 1 s 2 ( s 2 + 1 ) = 1 - t - cos ⁡ t + sen ⁡ t

E prontinho! 😉

Resposta

L - 1 s - 1 s 2 ( s 2 + 1 ) = 1 - t - cos ⁡ t + sen ⁡ t

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