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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 29

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 1 s 2 ( s + 4 )

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 1 s 2 ( s + 4 )

Aqui a gente vai tirar as frações parciais assim:

1 s 2 ( s + 4 ) = A s + B s 2 + C s + 4

Vamos descobrir esse A ,   B   e   C aí...

Passo 2

Vamos ter:

1 = A s s + 4 + B s + 4 + C s 2

1 = A s 2 + 4 A s + B s + 4 B + C s 2

Daí tiramos que:

A + C = 0

4 A + B = 0

4 B = 1

B = 1 4

4 A + 1 4 = 0

4 A = - 1 4 → A = - 1 16

C = 1 16

Nossa expressão então fica:

1 s 2 ( s + 4 ) = - 1 16 s + 1 4 s 2 + 1 16 s + 4

Passo 3

E aí iremos fazer:

L - 1 1 s 2 ( s + 4 ) = - 1 16   L - 1 1 s + 1 4 L - 1 1 s 2 + 1 16 L - 1 1 s + 4

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

- 1 16   L - 1 1 s = - 1 16

1 4 L - 1 1 s 2 = 1 4 t

1 16 L - 1 1 s + 4 = 1 16 e - 4 t

Agora, juntamos tudo:

L - 1 1 s 2 ( s + 4 ) = - 1 16 + 1 4 t + 1 16 e - 4 t

E prontinho! 😉

Resposta

L - 1 1 s 2 ( s + 4 ) = - 1 16 + 1 4 t + 1 16 e - 4 t

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