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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 26

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 s 2 + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 2 )

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

A gente quer encontrar a transformada inversa disso aqui:

L - 1 s 2 + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 2 )

Aqui a gente vai tirar as frações parciais assim:

s 2 + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 2 ) = A s + B s - 1 + C s + 1 + D s - 2

Vamos descobrir esse A ,   B   e   C aí...

Passo 2

Vamos ter:

s 2 + 1 = A s - 1 s + 1 s - 2 + B s s + 1 s - 2 + C s s - 1 s - 2 + D s ( s - 1 ) ( s + 1 )

s 2 + 1 = A s 3 - 2 s 2 - s + 2 + B s 3 - s 2 - 2 s + C s 3 - 3 s 2 + 2 s + D ( s 3 - s )

Daí tiramos que:

A = 1 2 ;     B =   - 1 ;     C = - 1 3 ;     D = 5 6

Nossa expressão então fica:

s 2 + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 2 ) =   1 2 s + - 1 s - 1 - 1 3 ( s + 1 ) + 5 6 ( s - 2 )  

Passo 3

E aí iremos fazer:

L - 1 s 2 + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 2 ) = 1 2   L - 1 1 s - L - 1 1 s - 1 - 1 3 L - 1 1 s + 1 + 5 6 L - 1 1 s - 2

Daí, utilizando as transformações do teorema 7.3, temos:

1 2   L - 1 1 s = 1 2

L - 1 1 s - 1 = e t

1 3 L - 1 1 s + 1 = 1 3 e - t

5 6 L - 1 1 s - 2 = 5 6 e 2 t

Agora, juntamos os dois:

L - 1 s 2 + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 2 ) = 1 2 - e t - 1 3 e - t + 5 5 e 2 t

Prontinho! 😉

Resposta

L - 1 s 2 + 1 s ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 2 ) = 1 2 - e t - 1 3 e - t + 5 5 e 2 t

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