Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada.

x^((x^2 + 1)/3) * y'' + y' - 8xy = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, vamos começar escrevendo a EDO da forma “certinha”:

y ' ' + y ' x x 2 + 1 3 - 8 y x 2 + 1 3 = 0

Aqui temos:

P x = 1 x x 2 + 1 3     e     Q x = - 8 x 2 + 1 3

Veja que:

x x 2 + 1 3 = 0 → x = 0 ; x = i   e   x = - i

Então temos os pontos x = 0 e x = i   e   x = - i como singulares na equação.

Vamos classificar agora como regular ou irregular.

Passo 2

Analisando primeiro o caso x = 0 . Para ser regular, é necessário que existam os limites:

lim x → 0 ⁡ x   p x

lim x → 0 ⁡ x 2 q   ( x )

Temos:

lim x → 0 ⁡ x   p x = l i m x → 0 x x x 2 + 1 3 = 1

lim x → 0 ⁡ x 2 q   ( x ) = l i m x → 0 - 8 x 2 x 2 + 1 3 = 0

Como os limites existem, o ponto é regular.

Passo 3

Agora vamos ver o ponto x = i :

lim x → i ⁡ x 2 + 1 ( p ( x ) ) = l i m x → 0 x 2 + 1 x x 2 + 1 3 = l i m x → 0 1 x x 2 + 1 2

Esse limite não existe, então o ponto é irregular!

O mesmo ocorre com x = - i .

Então temos uma singularidade regular em x = 0 e irregular em x = - i   e   x = i .

Resposta

Singularidade regular em x = 0 e irregular x = - i     e   x = i .

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