Sabe-se que f é contínua em 1 e que f 1 = 2 . Prove que existe r > 0 tal que para todo x ∈ D f

1 - r < x < 1 + r ⇒ 3 2 < f x < 5 2 .

Passo 1

Como f é contínua em 1 , a definição de continuidade nos diz que para todo ϵ positivo, existe um δ positivo de modo que para qualquer x contido no domínio de f , se satisfaz a afirmação:

1 - δ < x < 1 + δ   ⇒ 2 - ϵ < f x < 2 + ϵ

Como a afirmação é verdadeira para qualquer valor de ϵ > 0 , então no caso específico de tomarmos ϵ = 1 2 temos:

1 - δ < x < 1 + δ   ⇒ 2 - 1 2 < f x < 2 + 1 2

1 - δ < x < 1 + δ   ⇒ 3 2 < f x < 5 2

Passo 2

Se tomarmos r = δ , então temos:

1 - r < x < 1 + r   ⇒ 3 2 < f x < 5 2

Assim, provamos que 1 - r < x < 1 + r   ⇒ 3 2 < f x < 5 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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