Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 14
Prove que, se for definida, contínua e injetora no intervalo , então será estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Vamos tentar provar essa afirmação por contradição: suponha que é definida, contínua e injetora no intervalo , mas não é nem estritamente crescente nem estritamente decrescente.
Se for constante em qualquer parte do seu gráfico, já há contradição pois função constante não é injetora.
Então, vamos trabalhar com a hipótese de que exista uma função “estritamente” crescente em algumas partes do seu gráfico e “estritamente” decrescente em outras partes, e encontrar uma contradição com o fato de ela ser injetora.
Passo 2
Considere um ponto desse gráfico em que passa de crescente para decrescente (de forma análoga procederíamos para um ponto em que passasse de decrescente para crescente). Pelo menos um ponto como esse, que não é extremidade de , tem que existir para que a função seja como nós a imaginamos.
Vamos pegar outro ponto na vizinhança desse primeiro, digamos, , com . Como a função é estritamente crescente na vizinhança do ponto à esquerda, teremos .
Depois de , a função passa a ser decrescente, de modo que teremos pelo menos em alguma vizinhança desse ponto à direita.
Assim, vai existir outro ponto tal que . Isso contradiz o fato de ser injetora.
Logo, só pode ser estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)