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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.5 - Ex. 12

12. Resolva a equação diferencial x (d y)/(d x) - 4 y = x^4 e^x

Passo 1

Observe que a EDO é linear, pois dividindo ambos os lados por x obtemos y^' - (4)/(x) y = x^3 e^x e portanto temos P (x) = - (4)/(x) e Q (x) = x^3 e^x .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I (x) = e^(int P (x) d x) , ou seja I (x) = e^(int - (4)/(x) d x) = e^(- 4 ln x) = (1)/(x^4) .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y (x) = (1)/(I ( x )) [int I (x) Q (x) d x + C] . Já sabemos que I (x) = (1)/(x^4) e que Q (x) = x^3 e^x .

Passo 4

Então precisamos calcular int (1)/(x^4) x^3 e^x d x = int (e^x)/(x) d x . Bom pessoal, chegamos em uma integral nada trivial , conhecida como “exponencial integral”, que envolve conceitos que vão além do que foi visto até o momento , como o somatório de séries de maclaurin. Sendo assim , após aplicação desses conceitos, obtemos que:

int (e^x)/(x) d x = E i (x) + C

Passo 5

E como vimos anteriormente , a solução é dada por:

y (x) = (1)/(I ( x )) [int I (x) Q (x) d x + C]

y (x) = (1)/((1)/(x^4)) (E i (x) + C) = x^4 ( E i (x) + C )

Resposta

y (x) = x^4 ( E i (x) + C )

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