Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 2b
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Para determinar diferenciabilidade, podemos usar as derivadas parciais. Se temos derivadas parciais contínuas e bem definidas, a função é diferenciável, se algum ponto não obedecer a essas determinações então podemos dizer que ela não é diferenciável no ponto.
Calculando as derivadas parciais, primeiro em
Derivando em
Podemos verificar que as derivadas são bem definidas para pontos diferentes de , então ela é diferenciável nesses pontos, vamos verificar então o ponto .
Passo 2
Para verificar neste ponto vamos usar o limite
Se o limite existir e for , então podemos afirmar que é diferenciável em . Para isso precisaremos das derivadas parciais em que encontramos pela definição
Em
Passo 3
Voltando ao limite da diferenciabilidade
Se pegarmos o caminho
Como encontramos um valor diferente de , o limite não pode ser e a função não é diferenciável em .
Portanto o conjunto em que a função é diferenciável é .