Sejam e duas superfícies regulares nos abertos e , respectivamente. Suponha que exista uma transformação , com , dada por
sendo de classe , inversível e tal que, para todo ,
Diremos, então, que é obtida de pela mudança de parâmentros . Suponha, então, que seja obtida de pela mudança de parâmentros .
Verifique que
Prove que
Onde
é o determinante jacobiano de transformação .
Interprete geometricamente a relação (item (b)) supondo .
Passo 1
Antes de falar alguma coisa, vamos resolver hahaha. Assim segue que
Tome que
Passo 2
Vamos começar o item tomando que
Agora vamos utilizar a regra da cadeia, na qual
e
Agora tome que
Que por propriedade de produto vetorial, nos da
Agora lembrando que, , então quando tivemos vetores iguais o valor é nulo. Desta forma ficamos com
E se já usamos duas propriedades, por que não a terceira?
Tome agora que
Logo
E agora colocando o produto vetorial em evidência
Passo 3
O valor ele é uma correção geométrica da transformação do espaço. Quando saímos de um espaço por uma transformação para um espaço , ele vem para corrigir nossa superfície.