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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 19

Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares nos abertos Ω e Ω 1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H : Ω 1 → Ω , com H Ω 1 = Ω , dada por

H : u = u s , t v = v s , t       s , t ∈ Ω 1

sendo H de classe C 1 , inversível e tal que, para todo s , t ∈ Ω 1 ,

φ s , t = σ u s , t , v s , t

Diremos, então, que φ é obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t . Suponha, então, que φ seja obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t = u s , t , v s , t .

  1. Verifique que I m   φ = I m   σ
  2. Prove que

    3. ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t = ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v ∂ u , v ∂ s , t  

    Onde

    ∂ u , v ∂ s , t = ∂ u ∂ s ∂ u ∂ t ∂ u ∂ s ∂ u ∂ t

    é o determinante jacobiano de transformação u = u s , t , v = v s , t .

  3. Interprete geometricamente a relação (item (b)) supondo ∂ u , v ∂ s , t > 0 .

Passo 1

Antes de falar alguma coisa, vamos resolver hahaha. Assim segue que

  1. Tome que I m   φ =   I m   Ω = R 3 = I m   Ω 1 = I m   σ

    2. Passo 2

  2. Vamos começar o item b tomando que

    3. ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t = ∂ σ ∂ s ∧ ∂ σ ∂ t

    Agora vamos utilizar a regra da cadeia, na qual

    ∂ σ ∂ s = ∂ σ ∂ u d u d s + ∂ σ ∂ v d v d s

    e

    ∂ σ ∂ t = ∂ σ ∂ u d u d t + ∂ σ ∂ v d v d t

    Agora tome que

    ∂ σ ∂ u d u d s + ∂ σ ∂ v d v d s ∧ ∂ σ ∂ u d u d t + ∂ σ ∂ v d v d t

    Que por propriedade de produto vetorial, nos da

    d u d s d u d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ u + d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v + d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u + d v d s d v d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ v

    Agora lembrando que, v → ∧ v → = 0 , então quando tivemos vetores iguais o valor é nulo. Desta forma ficamos com

    d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v + d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u

    E se já usamos duas propriedades, por que não a terceira?

    Tome agora que v → ∧ u → = - u → ∧ v →  

    Logo

    d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v + d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u = d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v - d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u

    E agora colocando o produto vetorial em evidência

    ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v d u d s d v d t - d v d s d u d t = ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v ∂ u , v ∂ s , t

    Passo 3

  3. O valor ∂ u , v ∂ s , t ele é uma correção geométrica da transformação do espaço. Quando saímos de um espaço φ por uma transformação para um espaço σ , ele vem para corrigir nossa superfície.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o jacobiano da transformação. x = u 2 - v 2 , y = u 2 + v 2
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Mostre que a transformação φ do exercício anterior transforma o círculo u 2 + v 2 ≤ r 2 no círculo x 2 + y 2 ≤ 2 r 2 .
Considere a transformação φ de ℝ2 em ℝ2 dada por x = u + v e y = u − v. Desenhe φ (B)sendo B a reta v = 0. sendo B o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
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