Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares nos abertos Ω e Ω 1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H : Ω 1 → Ω , com H Ω 1 = Ω , dada por H : u = u s , t v = v s , ts , t ∈ Ω 1 sendo H de classe C 1 , inversível e tal que, para todo s , t ∈ Ω 1 , φ s , t = σ u s , t , v s , t Diremos, então, que φ é obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t . Suponha, então, que φ seja obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t = u s , t , v s , t .Verifique que I mφ = I mσ Prove que ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t = ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v ∂ u , v ∂ s , t Onde ∂ u , v ∂ s , t = ∂ u ∂ s ∂ u ∂ t ∂ u ∂ s ∂ u ∂ t é o determinante jacobiano de transformação u = u s , t , v = v s , t .Interprete geometricamente a relação (item (b)) supondo ∂ u , v ∂ s , t0 .

Enunciado

Antes de falar alguma coisa, vamos resolver hahaha. Assim segue que

Agora vamos utilizar a regra da cadeia, na qual

Agora tome que

Que por propriedade de produto vetorial, nos da

Agora lembrando que, , então quando tivemos vetores iguais o valor é nulo. Desta forma ficamos com

E se já usamos duas propriedades, por que não a terceira?

Tome agora que

Logo

E agora colocando o produto vetorial em evidência

O valor ele é uma correção geométrica da transformação do espaço. Quando saímos de um espaço por uma transformação para um espaço , ele vem para corrigir nossa superfície.

Ei, a resposta está no passo a passo :)