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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 20

Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares, sendo φ obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t = u s , t , v s , t (veja exercício anterior). Sejam K ⊂ Ω e K 1 ⊂ Ω 1 , compactos com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio e tais que H K 1 = K 1 . Prove que

∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v = ∬ K 1 ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t d s d t

Passo 1

Do problema anterior, temos que

∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t = ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v ∂ u , v ∂ s , t  

Passo 2

Assim teremos que

∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v = ∬ K ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t ∂ s , t ∂ u , v   d u d v

Como o jabobiano é um número, podemos tirar ele da norma

∬ K ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t   ∂ s , t ∂ u , v d u d v

Agora como temos uma transformação H s , t = u s , t , v s , t , então

d s d t = ∂ s , t ∂ u , v d u d v

Desta forma

∬ K ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t   ∂ s , t ∂ u , v d u d v = ∬ K 1 ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t d s d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares nos abertos Ω e Ω 1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H : Ω 1 → Ω , com H Ω 1 = Ω , dada por H : u = u s