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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 5

Seja f : A ⊂   R 2 →   R , A aberto , uma função contínua e seja c um número real dado. Prove que p conjunto { x , y ∈ A ; f   x , y < c } é aberto.

Passo 1

Seja B = x , y ∈   R 2 f x , y < c } . Precisamos provar que para todo x 0 ,   y 0 ∈ B existe uma bola aberta, de centro x 0 ,   y 0 , contida em B . Como f é contínua em ( x 0 ,   y 0 ) , tomando-se ϵ > 0 , com f x 0 ,   y 0 + ϵ < c   , existe r > 0 ( como A é aberto, podemos tomar r de modo que a bolsa aberta de centro ( x 0 ,   y 0 ) e raio r esteja contida em A ), tal que

x , y - ( x 0 , y 0 ) < r ⟹ f x , y < f x 0 ,   y 0 + ϵ < c  

Portanto,

V ⊂ B ,  

Logo,   V é aberto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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