Suponha que f é contínua no retângulo A = { x, y | (x, y) ∈ R², α ≤ x ≤ β, α - ≤ y ≤ β - } . Prove que f é limitada em A .

(Sugestão: Suponha, por absurdo, que f não seja limitada em A . Então existe (x1, y1) ∈ A tal que |f(x₁, y₁)| > 1 . Tomando o ponto médio de cada lado, dividindo retângulo em 4 retângulos iguais, considere um deles como sendo A2 . f não será limitada, logo existe (x_2, y_2) ∈ A tal que | f(x₂, y₂) > 2 , etc.

Passo 1

Suponhamos, por absurdo que f não seja limitada em A . Então existe x 1 ,   y 1 ∈ A ,     tal que f x 1 ,   y 1 > 1 . Tomando o ponto médio de cada lado, dividindo retângulo em 4 retângulos iguais, considere um deles como sendo A 2 . Como A 2 ⊂ A , então f não é limitada em A 2 , então, existe x 2 ,   y 2 ∈ A ,     tal que f x 2 ,   y 2 > 2 . Tomando o ponto médio de cada lado, dividindo retângulo em 4 retângulos iguais, considere um deles como sendo A 3 .Prosseguindo assim, teremos uma sequência de retângulos,

A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⋯ ⊃ A n ⋯

Satisfazendo a propriedade do retângulo que estudamos nos capítulos anteriores e tal que, para todo n ∈ N , existe uma sequência x n ,   y n ∈ A n limitada, pois A n é limitado e, consequentemente, convergente (a menos de uma subsequência), para c ∈ A , com

| f x n ,   y n | > n

Logo,

lim n → ∞   ⁡ f x n ,   y n = ∞  

Como f   é contínua,

lim n → ∞   ⁡ f x n ,   y n = | f c |

O que é uma contradição. Logo, f é limitada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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