Suponha que contínua no retângulo . Prove que é limitada em .

(Sugestão: Suponha, por absurdo, que não seja limitada em . Então existe tal que . Tomando o ponto médio de cada lado, dividindo retângulo em 4 retângulos iguais, considere um deles como sendo . não será limitada, logo existe tal que , etc.

Suponhamos, por absurdo que não seja limitada em . Então existe tal que . Tomando o ponto médio de cada lado, dividindo retângulo em 4 retângulos iguais, considere um deles como sendo . Como , então não é limitada em , então, existe tal que . Tomando o ponto médio de cada lado, dividindo retângulo em 4 retângulos iguais, considere um deles como sendo .Prosseguindo assim, teremos uma sequência de retângulos,

Satisfazendo a propriedade do retângulo que estudamos nos capítulos anteriores e tal que, para todo , existe uma sequência limitada, pois é limitado e, consequentemente, convergente (a menos de uma subsequência), para , com

Logo,

Como é contínua,

O que é uma contradição. Logo, é limitada.