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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 11

11. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação

∂ 2 f ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ t 2   ( c ≠ 0 constante). (i)

a) Deteremine constante m , n , p e q para que g u , v = f x , t , onde x = m u + n v e t = p u - q v satisfaça a equação ∂ 2 g ∂ u   ∂ v = 0 .

b) Detetermine uma coleção de funções f ( x , t ) que satisfaça (i).

Passo 1

a) Lembrando que ∂ 2 g ∂ u   ∂ v = ∂ ∂ u ∂ g ∂ v , vamos calcular primeiro ∂ g ∂ v , usando a regra da cadeia:

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v  

Como x = m u + n v e t = p u - q v , então ∂ x ∂ v = n   e   ∂ y ∂ v = - q .

Substituindo ∂ x ∂ v = n   e   ∂ y ∂ v = q

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ( n ) + ∂ f ∂ y ( - q )

Portanto

∂ g ∂ u = n ∂ f ∂ x - q ∂ f ∂ t

Passo 2

Vamos calcular agora ∂ ∂ u ∂ g ∂ v

∂ ∂ u ∂ g ∂ v = n ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ ∂ t ∂ f ∂ x ∂ t ∂ u - q ∂ ∂ x ∂ f ∂ t ∂ x ∂ u + ∂ ∂ t ∂ f ∂ t ∂ t ∂ u

Como x = m u + n v e t = p u - q v , então ∂ x ∂ u = m   e   ∂ t ∂ u = p .

Substituindo ∂ x ∂ u = m   e   ∂ t ∂ u = p

∂ ∂ u ∂ g ∂ v = n ∂ ∂ x ∂ f ∂ x m + ∂ ∂ t ∂ f ∂ x p + q ∂ ∂ t ∂ f ∂ x m + ∂ ∂ t ∂ f ∂ t p

Arrumando

∂ 2 g ∂ u   ∂ v = n m ∂ 2 f ∂ x 2 + n p ∂ 2 f ∂ t   ∂ x + q m ∂ 2 f ∂ x   ∂ t + p q ∂ 2 f ∂ t 2

Vamos supor que seja de Classe C 2 para usarmos o Teorema de Schwarz que nos permite dizer que

∂ 2 f ∂ t   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ t

Substituindo ∂ 2 f ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 e ∂ 2 g ∂ u   ∂ v = 0

0 = n m + p q c 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + ( n p + q m ) ∂ 2 f ∂ x   ∂ t

Observando a equação, notamos que ∂ 2 f ∂ x 2 ≠ ∂ 2 f ∂ x   ∂ t , logo a equação só vai valer quando

n m + p q c 2 = 0   e n p + q m = 0

Eu sei que é forçar um pouco a barra, mas se olharmos direitinho as duas equações, podemos notar que só corre

n m = - p q c 2   e n p = - q m

Fazendo uma equação sobre a outra ficamos com

n m n p = - p q c 2 - q m

Simplificando

m 2 = p 2 c 2

Tudo isso só acontece com p = q = 1 e m = n = c .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique que a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x transforma a equação ∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0 Em, ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v = 0
a) Ache uma função u ( x , y ) da forma u x , y = F x 2 + y 2 que satisfaça a equação de Laplace ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.
Sejam G u , v = F x , y x , u = x + y e v = y x . Suponha que ∂ 2 F ∂ x 2 - 2 ∂ 2 F ∂ x∂ y + ∂ 2 F ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 G ∂ v 2 .
Encontre ∂w/∂u e ∂w/∂y quando u = y = 0 se w = ln21 + x2 – tg–1 x e x = 2eu cos y.
Encontre o valor da derivada de ƒ(x, y, z) = xy + yz + xz com relação a t na curva x = cos t, y = sen t, z = cos 2t em t = 1.