Seja f definida em R e suponha que exista M > 0 tal que, para todo x , f x - f p ≤ M x - p 2 .

  1. Mostre que f é contínua em p .
  2. Calcule, caso exista, lim x → p ⁡ f x - f p x - p .

Passo 1

  1. Para f ser contínua em p é necessário que:
  2. lim x → p ⁡ f x = f p

    Temos do enunciado que f x - f p ≤ M x - p 2 , podemos então extrair que:

    - M x - p 2 ≤ f x - f p ≤ M x - p 2

    Podemos dizer que g x = - M x - p 2 e h x = M x - p 2 , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

    - M x - p 2 ≤ f x - f p ≤ M x - p 2 ⇒ g ( x ) ≤ t ( x ) ≤ h ( x )

    Vamos agora testar a próxima condição, se:

    lim x → p ⁡ - M x - p 2 = lim x → p ⁡ M x - p 2

    Passo 2

    Vamos calcular o primeiro limite:

    lim x → p ⁡ - M x - p 2 = - M p - p 2 = - M 0 2 = 0

    Agora o segundo:

    lim x → p ⁡ M x - p 2 = M p - p 2 = M 0 2 = 0

    Assim,

    lim x → p ⁡ - M x - p 2 = lim x → p ⁡ M x - p 2 = 0

    Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

    lim x → p ⁡ f x - f p = 0 ↔ lim x → p ⁡ f x = f p

    Assim, ela é contínua em p .

    Passo 3

  3. Novamente do enunciado temos que f x - f p ≤ M x - p 2 , podemos então extrair que:

- M x - p 2 ≤ f x - f p ≤ M x - p 2

Vamos dividir tudo por x - p para ficar com a expressão que queremos:

- M x - p 2 x - p   ≤ f x - f p x - p   ≤ M x - p 2 x - p   ↔ - M x - p ≤ f x - f p x - p   ≤ M x - p

Podemos dizer que g x = - M x - p e h x = M x - p , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

- M x - p ≤ f x - f p x - p   ≤ M x - p ⇒ g ( x ) ≤ t ( x ) ≤ h ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → p ⁡ - M x - p = lim x → p ⁡ M x - p

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite:

lim x → p ⁡ - M x - p = - M p - p = - M ∙ 0 = 0

Agora o segundo:

lim x → p ⁡ M x - p = M p - p = M ∙ 0 = 0

Assim,

lim x → p ⁡ - M x - p = lim x → p ⁡ M x - p = 0

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → p ⁡ f x - f p x - p   = 0

Resposta

b) lim x → p ⁡ f x - f p x - p   = 0

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