Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 1
Seja uma função definida em tal que para todo , . Calcule e justifique.
Passo 1
Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite de quando tende a , sabendo que para todo , temos .
Podemos dizer que e , assim já temos uma função entre outras duas funções. Olha só:
E isso nos lembra uma das condições do Teorema do Confronto, certo? E esse teorema nos diz que, quando essa condição é atendida, e o limite das extremidades são iguais, então o limite da função que tá no meio também é igual.
Então, o que nós vamos fazer é calcular os limites de e , verificar se eles são iguais e teremos o limite de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:
Agora resolvendo vamos calcular o limite de :
Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação
É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!
Passo 3
No numerador temos um polinômio do segundo grau, da seguinte forma , então podemos usar a seguinte fórmula e achar o valor de e :
De cara sabemos que e , assim vamos ficar com:
Vamos ter então o limite:
Simplificando, temos:
Pronto, agora é só aplicar o valor:
Passo 4
Então, descobrimos que ambos os limites são iguais a :
E pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉