Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 23
23. Suponha que, para todo . Mostre que
Passo 1
Nossa função é a seguinte:
Pra facilitar nossa vida, vamos expressar como . Para isso, faremos uma substituição.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
O termo fica assim:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Por fim, vamos ver como fica o :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Então podemos escrever o seguinte:
Passo 2
Para derivar em relação a vamos usar a regra do produto, assim:
Para achar , vamos usar a regra da cadeia, olha só:
Do Passo 1:
Agora é só substituir na equação lá de cima!
Passo 3
Pra finalizar, vamos derivar em relação a e para isso bora usar a regra do produto, assim:
Para achar , vamos usar a regra da cadeia, olha só:
Do Passo 1:
Agora é só substituir na equação lá de cima!
Passo 4
Agora vamos verificar que .
e
Para e :
, e
Do passo 2:
Como :
Analogamente;
Isto é,
Agora é só juntar e :
Por fim,
Pra ficar igual ao enunciado, vamos voltar para e ( e :
Pronto! Verificamos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)