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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 12

Seja F (r , theta , t) = f ( x , y , t ) onde x = r c o s theta e y = r s e n theta . Suponha que ( c != 0 constante)

(del^2 f)/(del t^2) = c^2 [(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2)] .

Mostre que

(del^2 F)/(del t^2) = c^2 [(del^2 F)/(del r^2) + (1)/(r^2) (del^2 F)/(del theta^2) + (1)/(r) (del F)/(del r)] .

Passo 1

Temos que mostrar a igualdade acima. Nossa ideia vai ser a seguinte:

Como precisamos que

(del^2 f)/(del t^2) = c^2 [(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2)] e (del^2 f)/(del t^2) = c^2 [(del^2 F)/(del r^2) + (1)/(r^2) (del^2 F)/(del theta^2) + (1)/(r) (del^2 F)/(del r)]

Então,

c^2 [(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2)] = c^2 [(del^2 F)/(del r^2) + (1)/(r^2) (del^2 F)/(del theta^2) + (1)/(r) (del^2 F)/(del r)]

O que significa dizer que devemos mostrar que

[(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2)] = [(del^2 F)/(del r^2) + (1)/(r^2) (del^2 F)/(del theta^2) + (1)/(r) (del^() F)/(del r)]

Resposta

Usando a regra da cadeia, a derivada com respeito a r temos

(del^() F)/(del r) = (del^() f)/(del x) * (del x)/(del r) + (del^() f)/(del y) * (del y)/(del r) + (del^() f)/(del t) * (del t)/(del r)

Substituindo os valores sabendo que = r c o s theta e y = r s e n theta

(del^() F)/(del r) = (del^() f)/(del x) * (del x)/(del r) + (del^() f)/(del y) * (del y)/(del r) = (del^() f)/(del x) * c o s theta + (del^() f)/(del y) * s e n theta

Agora, vamos calcular a segunda derivada

(del^2 F)/(del r^2) = (del^2 f)/(del x^2) * c o s theta * (del x)/(del r) + (del^2 F)/(del x del y^()) * s e n theta * (del y)/(del r) + (del^2 F)/(del y del x^()) * c o s theta * (del y)/(del r) + (del^2 f)/(del y^2) * s e n theta * (del y)/(del r)

= (del^2 f)/(del x^2) * cos^2 theta + (del^2 F)/(del x del y^()) * s e n theta * c o s theta + (del^2 F)/(del y del x^()) * c o s theta * s e n theta + (del^2 f)/(del y^2) * s e n^2 theta

(substituindo os valores)

Calculando a derivada com respeito a theta

(del^() F)/(del theta) = (del^() f)/(del x) * (del x)/(del theta) + (del^() f)/(del y) * (del y)/(del theta) = - (del^() f)/(del x) * r s e n theta + (del^() f)/(del y) * r c o s theta

Calculando a segunda derivada,

(del^2 F)/(del theta^2) = (del^2 f)/(del theta^2) * r s e n theta * (del x)/(del theta) + (del^2 F)/(del x del y^()) * r c o s theta * (del y)/(del theta) + (del^2 F)/(del y del x^()) * r s e n theta * (del y)/(del theta) + (del^2 f)/(del y^2) * r c o s theta * (del y)/(del theta) + (del^() f)/(del x) * (del x)/(del theta) + (del^() f)/(del y) * (del y)/(del theta)

= (del^2 f)/(del theta^2) * r^2 s e n^2 theta + (del^2 F)/(del x del y^()) * r^2 cos^() theta s e n theta + (del^2 F)/(del y del x^()) * r^2 s e n theta c o s theta + (del^2 f)/(del y^2) * r^2 cos^2 theta + (del^() f)/(del x) * r c o s theta + (del^() f)/(del y) * r s e n theta

(substituindo os valores)

Agora é so multiplicar pelos fatores que faltam e somar. Fazendo isso, teremos que .

(del^2 F)/(del r^2) + (1)/(r^2) (del^2 F)/(del theta^2) + (1)/(r) (del^() F)/(del r) = (del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2)

E pelo o que conversamos no item 1, tá mostardo hihi.

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