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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 30c

Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ x   e ∂ z ∂ y .

c) x y z - x - y + x 2 = 3

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que z = f ( x , y ) é definida pela equação F x , y , z = 0 . Assim,

F x , y , z =   x y z - x - y + x 2 - 3

A derivada da função F é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0

d z d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ x = y z - 1 + 2 x

∂ F ∂ z = x y

Passo 2

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ x :

∂ z ∂ x = - y z - 1 + 2 x x y

∂ z ∂ x = 1 - 2 x - y z x y

Passo 3

A derivada da função F em relação à y é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ y + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ y + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ y = 0

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ y = x z - 1

∂ F ∂ z = x y

Passo 4

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ y :

∂ z ∂ y = - x z - 1 x y

∂ z ∂ y = 1 - x z x y

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ z ∂ x = 1 - 2 x - y z x y

∂ z ∂ y = 1 - x z x y

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Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:a) f x , y = x 2 3 + y 2 3
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Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:d) z = ln ⁡ ( x y )