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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 5

Seja f : R → R diferneciável e seja g dada por g x , y , z = f ( r ) onde r = x , y , z . Verifique que

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y + z ∂ g ∂ z = r f ' r

Passo 1

O enunciado nos dá uma função g x , y , z desconhecida e nos pede para calcularmos as suas derivadas a fim de verificar uma expressão dada.

Não tem jeito, devemos encontrar alguma maneira de descobrir as derivadas parciais de g x , y , z para poder verificar a equação dada. Uma dica útil neste caso é ir usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para determinar ∂ g ∂ x é simiples: basta derivar a g em x !

∂ g ∂ x x , y , z = ∂ ∂ x f r

Agora, como calcular ∂ ∂ x f r ? É difícil enxergar o que acontece aqui pois temos uma função de r sendo derivada em relação a x . Mas vamos mudar isso agora mesmo pela regra da cadeia!

∂ ∂ x f r = ∂ ∂ r f r ∂ r ∂ x

Ficou mais arrumada a expressão. Agora, realmente temos ∂ ∂ r f r = f ' r (já que f só depende de r ). A pergunta que surgiu agora é de como avaliar ∂ r ∂ x . Bem, para isto, podemos usar a informação dada de que r = x , y , z .

Lembre-se de que o módulo é toda vida dado por:

x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Assim, chegamos à conclusão de que

∂ r ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

Ou seja,

∂ r ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

Ótimo! Vamos juntar todas as coisas então? Vamo!

∂ g ∂ x x , y , z = f ' r x x 2 + y 2 + z 2

Show!

Passo 3

Para determinar ∂ g ∂ y é simiples: basta derivar a g em y !

∂ g ∂ y x , y , z = ∂ ∂ y f r

Agora, como calcular ∂ ∂ y f r ? É difícil enxergar o que acontece aqui pois temos uma função de r sendo derivada em relação a y . Mas vamos mudar isso agora mesmo pela regra da cadeia!

∂ ∂ y f r = ∂ ∂ r f r ∂ r ∂ y

Ficou mais arrumada a expressão. Agora, realmente temos ∂ ∂ r f r = f ' r (já que f só depende de r ). A pergunta que surgiu agora é de como avaliar ∂ r ∂ y . Bem, para isto, podemos usar a informação dada de que r = x , y , z .

Lembre-se de que o módulo é toda vida dado por:

x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Assim, chegamos à conclusão de que

∂ r ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2

Ou seja,

∂ r ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

Ótimo! Vamos juntar todas as coisas então? Vamo!

∂ g ∂ y x , y , z = f ' r y x 2 + y 2 + z 2

Show!

Passo 4

Para determinar ∂ g ∂ z é exatamente igual: basta derivar a g em z !

∂ g ∂ z x , y , z = ∂ ∂ z f r

Agora, como calcular ∂ ∂ z f r ? É difícil enxergar o que acontece aqui pois temos uma função de r sendo derivada em relação a z . Mas vamos mudar isso agora mesmo pela regra da cadeia!

∂ ∂ z f r = ∂ ∂ r f r ∂ r ∂ z

Ficou mais arrumada a expressão. Agora, realmente temos ∂ ∂ r f r = f ' r (já que f só depende de r ). A pergunta que surgiu agora é de como avaliar ∂ r ∂ z . Bem, para isto, podemos usar a informação dada de que r = x , y , z .

Lembre-se de que o módulo é toda vida dado por:

x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Assim, chegamos à conclusão de que

∂ r ∂ z = ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Ou seja,

∂ r ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

Ótimo! Vamos juntar todas as coisas então? Vamo!

∂ g ∂ z x , y , z = f ' r z x 2 + y 2 + z 2

Show!

Passo 5

Em posse de todas as derivadas da função g x , y , z , agora podemos avaliar a equação dada.

Vamos substituir nossos resultados no lado esquerda da equação, o que nos fornece:

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y + z ∂ g ∂ z = f ' r x 2 x 2 + y 2 + z 2 + f ' r y 2 x 2 + y 2 + z 2 + f ' r z 2 x 2 + y 2 + z 2

É molezinha mostrar que a expressão acima se reduz ao seguinte:

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y + z ∂ g ∂ z = f ' r x 2 + y 2 + z 2

Mas perai! Já mencionamos várias vezes que r = x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 . Ou seja,

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y + z ∂ g ∂ z = f ' r r

Que é o que queremos provar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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