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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 9

9. Sejam f x , y de Classe C 2 num aberto R 2 , g x derivável até a 2ª ordem num intervalo aberto I e tais que, para to x ∈ I ,   f x , g x = 0 (isto é, y = g ( x ) é dada implicitamente pela equação f x , y = 0 ) . Expresse g ' ' ( x )   em termos de derivadas parciais de f .

Passo 1

Como f x , y = 0 , onde y = g x ,   (então d y d x = g ' ( x ) ) sabemos que d d x f x , y = 0 . (Em outras palavras, qualquer x dentro desse intervalo nos dá um falor de f constante e igual a zero)

Vamos achar a expressão que representa a primeira derivada

d f d x = ∂ f ∂ x d x d x + ∂ f ∂ y d y d x

Substituindo d d x f x , y = 0 e d y d x = g ' ( x )

0 = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y g ' ( x )

Isolando g ' x

g ' x =   - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Vamos calcular g ' ' x usando a Regra do Quociente

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d x ∂ f ∂ y 2

Substituindo d y d x = g ' x

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x g ' x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y g ' x ∂ f ∂ y 2

Agora substituindo g ' x =   - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y 2

Vamos arrumar um pouco deixando todo mundo na parte de cima da fração sobre ∂ f ∂ y

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y 2

E arrumando mais um pouco

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y 3

Arrumando mais um pouquinho...

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y - ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y 3

Arrumando só mais um pouquinho...

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

Como é suposta de classe C 2 , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Ficamos, FINALMENTE, com

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - 2 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

Resposta

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - 2 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

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10. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2. (i)a) Verifique que g u , v = f x , t , onde x = u + v e t = u - v satisfaz a equação ∂ 2 g ∂ v∂ u = 0 . b) Detetermine uma c
8. Seja v r , θ = u ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θey = rs e nθ . Verifique que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ r 2 + 1 r ∂ v ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 .
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
7. Seja g u , v = f 2 u + v , u - 2 v , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 = 5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2