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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 9

9. Sejam f x , y de Classe C 2 num aberto R 2 , g x derivável até a 2ª ordem num intervalo aberto I e tais que, para to x ∈ I ,   f x , g x = 0 (isto é, y = g ( x ) é dada implicitamente pela equação f x , y = 0 ) . Expresse g ' ' ( x )   em termos de derivadas parciais de f .

Passo 1

Como f x , y = 0 , onde y = g x ,   (então d y d x = g ' ( x ) ) sabemos que d d x f x , y = 0 . (Em outras palavras, qualquer x dentro desse intervalo nos dá um falor de f constante e igual a zero)

Vamos achar a expressão que representa a primeira derivada

d f d x = ∂ f ∂ x d x d x + ∂ f ∂ y d y d x

Substituindo d d x f x , y = 0 e d y d x = g ' ( x )

0 = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y g ' ( x )

Isolando g ' x

g ' x =   - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Vamos calcular g ' ' x usando a Regra do Quociente

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d x ∂ f ∂ y 2

Substituindo d y d x = g ' x

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x g ' x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y g ' x ∂ f ∂ y 2

Agora substituindo g ' x =   - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y 2

Vamos arrumar um pouco deixando todo mundo na parte de cima da fração sobre ∂ f ∂ y

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y 2

E arrumando mais um pouco

g ' ' x =   - ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y 3

Arrumando mais um pouquinho...

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y - ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ y - ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y 3

Arrumando só mais um pouquinho...

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

Como é suposta de classe C 2 , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Ficamos, FINALMENTE, com

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - 2 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

Resposta

g ' ' x =   - ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - 2 ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ y 3

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7. Seja g (u , v) = f (2 u + v , u - 2 v) , onde f ( x , y ) é suposta de classe C^2 . Verifique que (del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2)