7. Seja g(u, v) = f(2u + v, u - 2v) onde f(x, y) é suposta de classe C^2 Verifique que

∂^2g/∂u^2 + ∂^2g/∂v^2 = 5∂^2f/∂x^2 + 5∂^2f/∂y^2

Passo 1

Vamos calcular as primeiras derivadas parciais ∂ g ∂ u e ∂ g ∂ v .

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Como x = 2 u + v e y = u - 2 v ,   Então

∂ x ∂ u = 2 , ∂ y ∂ u = 1 , ∂ x ∂ v = 1 e ∂ y ∂ v = - 2

Substituindo ∂ x ∂ u = 2 , ∂ y ∂ u = 1 , ∂ x ∂ v = 1 e ∂ y ∂ v = - 2 , ficamos com

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ( 2 ) + ∂ f ∂ y ( 1 )

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x 1 + ∂ f ∂ y ( - 2 )

Arrumando

∂ g ∂ u = 2 ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x - 2 ∂ f ∂ y

Passo 2

Calculando a segunda derivada ∂ 2 g ∂ u 2 e ∂ 2 g ∂ v 2 .

∂ 2 g ∂ u 2 = 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ y ∂ u + ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ x ∂ u + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ 2 g ∂ v = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ y ∂ v - 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Substituindo ∂ x ∂ u = 2 , ∂ y ∂ u = 1 , ∂ x ∂ v = 1 e ∂ y ∂ v = - 2 , ficamos com

∂ 2 g ∂ u 2 = 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( 2 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( 1 ) + ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( 2 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( 1 )

∂ 2 g ∂ v = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( 1 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( - 2 ) - 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( 1 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( - 2 )

Arrumando

∂ 2 g ∂ u 2 = 4 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 2 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + ∂ 2 f ∂ y 2

∂ 2 g ∂ v 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 - 2 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x - 2 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 4 ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 3

Como é suposta de classe C 2 , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Então ficamos com

∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 =   5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2

Resposta

∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 =   5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2

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