7. Seja g(u, v) = f(2u + v, u - 2v) onde f(x, y) é suposta de classe C^2 Verifique que

(∂²g / ∂u²) + (∂²g / ∂v²) = 5(∂²f / ∂x²) + 5(∂²f / ∂y²)

Passo 1

Vamos calcular as primeiras derivadas parciais (del g)/(del u) e (del g)/(del v) .

(del g)/(del u) = (del f)/(del x) (del x)/(del u) + (del f)/(del y) (del y)/(del u)

(del g)/(del v) = (del f)/(del x) (del x)/(del v) + (del f)/(del y) (del y)/(del v)

Como x = 2 u + v e y = u - 2 v , Então

(del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2

Substituindo (del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2 , ficamos com

(del g)/(del u) = (del f)/(del x) ( 2 ) + (del f)/(del y) ( 1 )

(del g)/(del v) = (del f)/(del x) 1 + (del f)/(del y) ( - 2 )

Arrumando

(del g)/(del u) = 2 (del f)/(del x) + (del f)/(del y)

(del g)/(del v) = (del f)/(del x) - 2 (del f)/(del y)

Passo 2

Calculando a segunda derivada (del^2 g)/(del u^2) e (del^2 g)/(del v^2) .

(del^2 g)/(del u^2) = 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del x)) (del x)/(del u) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) (del y)/(del u)) + (del)/(del x) ((del f)/(del y)) (del x)/(del u) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (del y)/(del u)

(del^2 g)/(del v) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) (del x)/(del v) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) (del y)/(del v) - 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del y)) (del x)/(del v) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (del y)/(del v))

Substituindo (del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2 , ficamos com

(del^2 g)/(del u^2) = 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del x)) ( 2 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( 1 )) + (del)/(del x) ((del f)/(del y)) ( 2 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) ( 1 )

(del^2 g)/(del v) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) ( 1 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( - 2 ) - 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del y)) ( 1 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) ( - 2 ))

Arrumando

(del^2 g)/(del u^2) = 4 (del^2 f)/(del x^2) + 2 (del^2 f)/(del y del x) + 2 (del^2 f)/(del y del x) + (del^2 f)/(del y^2)

(del^2 g)/(del v^2) = (del^2 f)/(del x^2) - 2 (del^2 f)/(del y del x) - 2 (del^2 f)/(del y del x) + 4 (del^2 f)/(del y^2)

Passo 3

Como é suposta de classe C^2 , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

(del^2 f)/(del y del x) = (del^2 f)/(del x del y)

Então ficamos com

(del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2)

Resposta

(del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2)

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