7. Seja onde é suposta de classe Verifique que
Passo 1
Vamos calcular as primeiras derivadas parciais e
Como e Então
, , e
Substituindo , , e , ficamos com
Arrumando
Passo 2
Calculando a segunda derivada e .
Substituindo , , e , ficamos com
Arrumando
Passo 3
Como é suposta de classe , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar
Então ficamos com
Resposta
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11. Suponha que f(x, y) satisfaça a equação∂²f / ∂x² = c² * (∂²f / ∂t²) (c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g(u, v) = f(x, t) , onde x = m * u + n * v e t = pu - qv sa
Seja F(r, θ, t) = f(x, y, t) onde x = r * cos(θ) e y = r * seno(theta) . Suponha que (c != 0 constante)∂²f / ∂t² = c² [ ∂²f / ∂x² + ∂²f / ∂y² ] Mostre que ∂²F / ∂t² = c² [ (∂²F / ∂r²) + (1 / r²) (∂²F
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂
Verifique que a mudança de variáveis x = cos(θ) - t * sen(θ) y = s * sen(θ) + t * cos(θ) com theta constante , transforma a equação ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 (u = u(x, y)) Em ∂²u / ∂s² + ∂²u / ∂t² = 0 (u