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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 7

7. Seja g (u , v) = f (2 u + v , u - 2 v) , onde f ( x , y ) é suposta de classe C^2 . Verifique que

(del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2)

Passo 1

Vamos calcular as primeiras derivadas parciais (del g)/(del u) e (del g)/(del v) .

(del g)/(del u) = (del f)/(del x) (del x)/(del u) + (del f)/(del y) (del y)/(del u)

(del g)/(del v) = (del f)/(del x) (del x)/(del v) + (del f)/(del y) (del y)/(del v)

Como x = 2 u + v e y = u - 2 v , Então

(del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2

Substituindo (del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2 , ficamos com

(del g)/(del u) = (del f)/(del x) ( 2 ) + (del f)/(del y) ( 1 )

(del g)/(del v) = (del f)/(del x) 1 + (del f)/(del y) ( - 2 )

Arrumando

(del g)/(del u) = 2 (del f)/(del x) + (del f)/(del y)

(del g)/(del v) = (del f)/(del x) - 2 (del f)/(del y)

Passo 2

Calculando a segunda derivada (del^2 g)/(del u^2) e (del^2 g)/(del v^2) .

(del^2 g)/(del u^2) = 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del x)) (del x)/(del u) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) (del y)/(del u)) + (del)/(del x) ((del f)/(del y)) (del x)/(del u) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (del y)/(del u)

(del^2 g)/(del v) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) (del x)/(del v) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) (del y)/(del v) - 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del y)) (del x)/(del v) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (del y)/(del v))

Substituindo (del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2 , ficamos com

(del^2 g)/(del u^2) = 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del x)) ( 2 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( 1 )) + (del)/(del x) ((del f)/(del y)) ( 2 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) ( 1 )

(del^2 g)/(del v) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) ( 1 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( - 2 ) - 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del y)) ( 1 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) ( - 2 ))

Arrumando

(del^2 g)/(del u^2) = 4 (del^2 f)/(del x^2) + 2 (del^2 f)/(del y del x) + 2 (del^2 f)/(del y del x) + (del^2 f)/(del y^2)

(del^2 g)/(del v^2) = (del^2 f)/(del x^2) - 2 (del^2 f)/(del y del x) - 2 (del^2 f)/(del y del x) + 4 (del^2 f)/(del y^2)

Passo 3

Como é suposta de classe C^2 , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

(del^2 f)/(del y del x) = (del^2 f)/(del x del y)

Então ficamos com

(del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2)

Resposta

(del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2)

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11. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 ( c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g u , v = f x , t , onde x = m u + n v e t = p u - q
Seja F r ,θ ,t = f ( x ,y ,t ) onde x = r c o s θ e y = r s e n θ . Suponha que ( c ≠ 0 constante) ∂ 2 f ∂ t 2 = c 2∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 . Mostre que ∂ 2 F ∂ t 2 = c 2∂ 2 F ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 F ∂
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂
Verifique que a mudança de variáveis x = s c o s θ - t s e n ( θ ) , y = s sen ⁡ θ + t c o s ( θ ) com θ constante , transforma a equação ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ( u = u ( x , y ) ) Em ∂ 2 u ∂ s