7. Seja g(u, v) = f(2u + v, u - 2v) onde f(x, y) é suposta de classe C^2 Verifique que (∂²g / ∂u²) + (∂²g / ∂v²) = 5(∂²f / ∂x²) + 5(∂²f / ∂y²) Passo 1Vamos calcular as primeiras derivadas parciais (del g)/(del u) e (del g)/(del v) . (del g)/(del u) = (del f)/(del x) (del x)/(del u) + (del f)/(del y) (del y)/(del u) (del g)/(del v) = (del f)/(del x) (del x)/(del v) + (del f)/(del y) (del y)/(del v) Como x = 2 u + v e y = u - 2 v , Então (del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2 Substituindo (del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2 , ficamos com (del g)/(del u) = (del f)/(del x) ( 2 ) + (del f)/(del y) ( 1 ) (del g)/(del v) = (del f)/(del x) 1 + (del f)/(del y) ( - 2 ) Arrumando (del g)/(del u) = 2 (del f)/(del x) + (del f)/(del y) (del g)/(del v) = (del f)/(del x) - 2 (del f)/(del y) Passo 2Calculando a segunda derivada (del^2 g)/(del u^2) e (del^2 g)/(del v^2) . (del^2 g)/(del u^2) = 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del x)) (del x)/(del u) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) (del y)/(del u)) + (del)/(del x) ((del f)/(del y)) (del x)/(del u) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (del y)/(del u) (del^2 g)/(del v) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) (del x)/(del v) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) (del y)/(del v) - 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del y)) (del x)/(del v) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (del y)/(del v)) Substituindo (del x)/(del u) = 2 , (del y)/(del u) = 1 , (del x)/(del v) = 1 e (del y)/(del v) = - 2 , ficamos com (del^2 g)/(del u^2) = 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del x)) ( 2 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( 1 )) + (del)/(del x) ((del f)/(del y)) ( 2 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) ( 1 ) (del^2 g)/(del v) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) ( 1 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( - 2 ) - 2 ((del)/(del x) ((del f)/(del y)) ( 1 ) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) ( - 2 )) Arrumando (del^2 g)/(del u^2) = 4 (del^2 f)/(del x^2) + 2 (del^2 f)/(del y del x) + 2 (del^2 f)/(del y del x) + (del^2 f)/(del y^2) (del^2 g)/(del v^2) = (del^2 f)/(del x^2) - 2 (del^2 f)/(del y del x) - 2 (del^2 f)/(del y del x) + 4 (del^2 f)/(del y^2) Passo 3Como é suposta de classe C^2 , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar (del^2 f)/(del y del x) = (del^2 f)/(del x del y) Então ficamos com (del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2) Resposta (del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados11. Suponha que f(x, y) satisfaça a equação∂²f / ∂x² = c² * (∂²f / ∂t²) (c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g(u, v) = f(x, t) , onde x = m * u + n * v e t = pu - qv saSeja F(r, θ, t) = f(x, y, t) onde x = r * cos(θ) e y = r * seno(theta) . Suponha que (c != 0 constante)∂²f / ∂t² = c² [ ∂²f / ∂x² + ∂²f / ∂y² ] Mostre que ∂²F / ∂t² = c² [ (∂²F / ∂r²) + (1 / r²) (∂²F Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂Verifique que a mudança de variáveis x = cos(θ) - t * sen(θ) y = s * sen(θ) + t * cos(θ) com theta constante , transforma a equação ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 (u = u(x, y)) Em ∂²u / ∂s² + ∂²u / ∂t² = 0 (u Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem SuperiorVer exercício 13.4 - 6Ver exercício 14.1 - 14a