Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 8
Sejam , e reais fixos e suponha que, para todo , . Prove que .
Passo 1
Temos do enunciado que , podemos então extrair que:
Podemos dizer que e , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:
Vamos agora testar a próxima condição, se:
Calcular o primeiro limite é simples, é só aplicar o valor:
Agora resolvendo o segundo:
E temos que:
Então os limites ficam:
Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:
Passo 2
Agora temos que , então vamos substituir:
Vamos dividir tudo por :
Podemos dizer que e , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:
Vamos agora testar a próxima condição, se:
Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:
Agora resolvendo o segundo:
E temos que:
Então os limites ficam:
Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:
Passo 3
Agora nós temos que e , então:
Vamos dividir tudo por :
Podemos dizer que e , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:
Vamos agora testar a próxima condição, se:
Vamos calcular o primeiro limite, novamente, é só aplicar o valor:
Agora resolvendo o segundo:
E temos que:
Então temos os limites:
Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:
Pronto, está provado que .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)