Enunciado

Sejam a , b e c reais fixos e suponha que, para todo x , a + b x + c x 2 ≤ x 3 . Prove que a = b = c = 0 .

Passo 1

Temos do enunciado que a + b x + c x 2 ≤ x 3 , podemos então extrair que:

- x 3 ≤ a + b x + c x 2 ≤ x 3

Podemos dizer que g x = - x 3 e h x = x 3 , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

- x 3 ≤ a + b x + c x 2 ≤ x 3 ⇒ g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 0 ⁡ - x 3 = lim x → 0 ⁡ x 3

Calcular o primeiro limite é simples, é só aplicar o valor:

lim x → 0 ⁡ - x 3 = - 0 3 = 0

Agora resolvendo o segundo:

lim x → 0 ⁡ x 3 = 0 3 = 0

E temos que:

lim x → 0 ⁡ a + b x + c x 2 = a + b ∙ 0 + c ∙ 0 2 = a

Então os limites ficam:

lim x → 0 ⁡ - x 3 ≤ lim x → 0 ⁡ a + b x + c x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 ↔ 0 ≤ a ≤ 0

Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:

a = 0

Passo 2

Agora temos que a = 0 , então vamos substituir:

- x 3 ≤ b x + c x 2 ≤ x 3

Vamos dividir tudo por x :

- x 3 x ≤ b x + c x 2 x ≤ x 3 x ↔ - x 2 ≤ b + c x ≤ x 2

Podemos dizer que g x = - x 2 e h x = x 2 , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

- x 2 ≤ b + c x ≤ x 2 ⇒ g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2

Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:

lim x → 0 ⁡ - x 2 = - 0 2 = 0

Agora resolvendo o segundo:

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 2 = 0

E temos que:

lim x → 0 ⁡ b + c x = b + c ∙ 0 = b

Então os limites ficam:

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ b + c x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 ↔ 0 ≤ b ≤ 0

Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:

b = 0

Passo 3

Agora nós temos que a = 0 e b = 0 , então:

- x 3 ≤ c x 2 ≤ x 3

Vamos dividir tudo por x 2 :

- x 3 x 2 ≤ c x 2 x 2 ≤ x 3 x 2 ↔ - x ≤ c ≤ x

Podemos dizer que g x = - x e h x = x , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

- x ≤ c ≤ x ⇒ g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 0 ⁡ - x = lim x → 0 ⁡ x

Vamos calcular o primeiro limite, novamente, é só aplicar o valor:

lim x → 0 ⁡ - x = - 0 = 0

Agora resolvendo o segundo:

lim x → 0 ⁡ x = 0 = 0

E temos que:

lim x → 0 ⁡ c = c

Então temos os limites:

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ c ≤ lim x → 0 ⁡ x ↔ 0 ≤ c ≤ 0

Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:

c = 0

Pronto, está provado que a = b = c = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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