Sejam a , b e c reais fixos e suponha que, para todo x , a + b x + c x 2 ≤ x 3 . Prove que a = b = c = 0 .

Enunciado

Temos do enunciado que , podemos então extrair que:

Podemos dizer que e , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

Vamos agora testar a próxima condição, se:

Calcular o primeiro limite é simples, é só aplicar o valor:

Agora resolvendo o segundo:

E temos que:

Então os limites ficam:

Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:

Agora temos que , então vamos substituir:

Vamos dividir tudo por :

Podemos dizer que e , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

Vamos agora testar a próxima condição, se:

Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:

Agora resolvendo o segundo:

E temos que:

Então os limites ficam:

Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:

Agora nós temos que e , então:

Vamos dividir tudo por :

Podemos dizer que e , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

Vamos agora testar a próxima condição, se:

Vamos calcular o primeiro limite, novamente, é só aplicar o valor:

Agora resolvendo o segundo:

E temos que:

Então temos os limites:

Assim, vamos ter pelo Teorema do Confronto que:

Pronto, está provado que .

Ei, a resposta está no passo a passo :)