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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 65

Série para s e n - 1 x Integre a série binomial para ( 1   -   x 2 ) - 1 / 2 para mostrar que, para | x | < 1 ,

s e n - 1 x   =   x   +   ∑ n = 1 ∞ 1   ⋅   3   ⋅   5   ⋅   . . .   ⋅   ( 2 n   -   1 ) 2   ⋅   4   ⋅   6   ⋅   . . .   ⋅   ( 2 n ) x 2 n + 1 2 n   +   1 .

Passo 1

E aí, galera! Como é que vai?

Nessa questão, nós temos que notar que

d d x ( s e n - 1 x ) = 1 ( 1   -   x 2 ) 1 / 2  

⇒ s e n - 1 t = ∫ 0 t d d x ( s e n - 1 x ) d x = ∫ 0 t 1 ( 1   -   x 2 ) 1 / 2   d x

Ou seja, quando integramos a série para ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 obtemos, automaticamente, a série de s e n - 1 x . Então, para começar, temos que usar a série binomial para ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 , isto é, para m = 1 / 2 .

Passo 2

A série binomial é do tipo

( 1 + x ) m = 1 + ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! x k

Quando trocamos x por - x 2 nessa série, ficamos com

( 1 - x 2 ) m = 1 + ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! ( - 1 ) k x 2 k

Agora, só falta fazer m = 1 / 2 :

( 1 - x 2 ) - 1 / 2 = 1 + ∑ k = 1 ∞ -   1 2 ! k ! ( - 1 2   -   k ) ! ( - 1 ) k x 2 k

⇒ ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 = 1 - -   1 2 - 3 2 ! 1 ! - 1 2 - 1 ! x 2 + -   1 2 - 3 2 - 5 2 ! 2 ! - 1 2 - 2 ! x 4 - -   1 2 - 3 2 - 5 2 - 7 2 ! 3 ! - 1 2 - 3 ! x 6 + ⋯

⇒ ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 = 1 + 1 2 ⋅ 1 ! x 2 + 3 2 2 ⋅ 2 ! x 4 + 3 ⋅ 5 2 3 ⋅ 3 ! x 6 + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 4 ⋅ 4 ! x 8 + ⋯

⇒ ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 = 1 + 1 2 x 2 + 3 2 ⋅ 4 x 4 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 6 + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 x 8 + ⋯

⇒ ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 = 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ( 2 n ) x 2 n

Prontinho, a gente já escreveu a série binomial de um jeito bem legal, agora só falta integrar.

Passo 3

A integração da série do passo anterior nos dá a série para s e n - 1 t , como nós discutimos no Passo 1. Então, vamos lá fazer essa integração!

s e n - 1 t = ∫ 0 t 1 ( 1   -   x 2 ) 1 / 2   d x = ∫ 0 t 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ( 2 n ) x 2 n   d x

⇒ s e n - 1 t = x + ∑ n = 1 ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ( 2 n ) x 2 n + 1 2 n + 1 0 t

⇒ s e n - 1 t = t + ∑ n = 1 ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ( 2 n ) t 2 n + 1 2 n + 1

Prontinho, chegamos ao resultado pedido. Gostou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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