Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 54
Calcule , onde é um inteiro e é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios e , .
Para que valores de a integral da parte tem limite quando ?
Determine , onde é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios , .
Para que valores de da parte tem limite quando ?
Passo 1
E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, como a questão foi bem direta com relação ao enunciado vamos já começar resolvendo o exercício logo. Para o primeiro item temos que resolver a seguinte integral
Como a região de integração é limitada por círculos, vamos trabalhar com coordenadas polares onde nosso ângulo vai percorrer todo o plano cartesiano, ou seja, de . Além disso, vamos ter os raios variando de e . Para não haver confusão entre o do raio do círculo e das coordenadas polares vamos utilizar uma outra letra e assim, teremos
Como essa integral não tem nada dependendo de no integrando podemos fazer
Resolvendo a integral ficamos com
Agora precisamos separar em 2 casos que são
Passo 2
Nossa integral terá limite quando para valores de tal que
Passo 3
De forma análoga ao que fizemos no item como temos uma região limitada por esferas é natural que utilizemos coordenadas esféricas, assim, nossa integral de forma iterada passa a ser
Resolvendo nossa integral mais interna, dependente de , vamos ter
Resolvendo, novamente, a integral mais interna vamos ter
Novamente precisaremos dividir em dois casos que serão
Passo 4
Nossa integral terá limite quando para valores de tal que
Pronto, finalmente acabou essa questão.