Calcule:

a) ∂(F, G) / ∂(x, y) sendo F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 e G(x, y, z) = x + y + z .

b) ∂(u, v) / ∂(y, z) sendo u = x * y * z e v = x^3 + y^2 .

c) ∂(x, y) / ∂(r, s) sendo x = r + 3s + t^2 e y = r^2 - s^2 - 3t^2 .

d) ∂(x, y) / ∂(s, t) sendo x = r + 3s + t^2 e y = r^2 - s^2 - 3t^2 .

Passo 1

Em cada item a questão pede para calcularmos os jacobianos das funções dadas. Para o item, temos que

J = ∂ F , G ∂ x , y = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Assim, calculando as derivadas parciais:

J = 2 x 2 y 1 1 = 2 x - 2 y = 2   ( x - y )

Passo 2

Para o item (b):

J = ∂ u , v ∂ y , z = ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ y ∂ u ∂ z

Portanto, como u = x y z e v = x 3 + y 2 :

J = x z x y 2 y 0 = - x y ⋅ 2 y = - 2 x y 2

Passo 3

Da mesma forma, no item (c):

J = ∂ x , y ∂ r , s = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ s ∂ y ∂ r ∂ y ∂ s

Como x = r + 3 s + t 2 e y = r 2 - s 2 - 3 t 2 , vamos ter que

J = 1 3 2 r - 2 s = - 2 s - 6 r = - 2   ( s + 3 r )

Passo 4

Por fim, no item (d):

J = ∂ x , y ∂ s , t = ∂ x ∂ s ∂ x ∂ t ∂ y ∂ s ∂ y ∂ t

Logo,

J = 3 2 t - 2 s - 6 t = - 18 t + 4 s t = 2 t   ( 2 s - 9 )

Resposta

a) J = 2 ( x - y )

b) J = - 2 x y 2

c) J = - 2   ( s + 3 r )

d) J = 2 t   ( 2 s - 9 )

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