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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 11

Calcule:

a) ∂ F , G ∂ x , y sendo F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e G x , y , z = x + y + z .

b) ∂ u , v ∂ ( y , z ) sendo u = x y z e v = x 3 + y 2 .

c) ∂ x , y ∂ ( r , s ) sendo x = r + 3 s + t 2 e y = r 2 - s 2 - 3 t 2 .

d) ∂ x , y ∂ s , t sendo x = r + 3 s + t 2 e y = r 2 - s 2 - 3 t 2 .

Passo 1

Em cada item a questão pede para calcularmos os jacobianos das funções dadas. Para o item, temos que

J = ∂ F , G ∂ x , y = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Assim, calculando as derivadas parciais:

J = 2 x 2 y 1 1 = 2 x - 2 y = 2   ( x - y )

Passo 2

Para o item (b):

J = ∂ u , v ∂ y , z = ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ y ∂ u ∂ z

Portanto, como u = x y z e v = x 3 + y 2 :

J = x z x y 2 y 0 = - x y ⋅ 2 y = - 2 x y 2

Passo 3

Da mesma forma, no item (c):

J = ∂ x , y ∂ r , s = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ s ∂ y ∂ r ∂ y ∂ s

Como x = r + 3 s + t 2 e y = r 2 - s 2 - 3 t 2 , vamos ter que

J = 1 3 2 r - 2 s = - 2 s - 6 r = - 2   ( s + 3 r )

Passo 4

Por fim, no item (d):

J = ∂ x , y ∂ s , t = ∂ x ∂ s ∂ x ∂ t ∂ y ∂ s ∂ y ∂ t

Logo,

J = 3 2 t - 2 s - 6 t = - 18 t + 4 s t = 2 t   ( 2 s - 9 )

Resposta

a) J = 2 ( x - y )

b) J = - 2 x y 2

c) J = - 2   ( s + 3 r )

d) J = 2 t   ( 2 s - 9 )

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A equação y 3 + x y + x 3 = 4 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso afirmativo, expresse d y d x em termos de x e y .
A função diferenciável z = z ( x , y ) é dada implicitamente pela equação f x y , z = 0 , onde f ( u , v ) é suposta diferenciável e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 0
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Expresse d y d x em termos de x e y .a) x 2 y + s e ny = x b) y 4 + x 2 y 2 + x 4 = 3
Sejam u = x + y e v = (y)/(x) . Calcule o determinante jacobiano (del (u , v))/(del ( x , y )) .
Suponha que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam dadas implicitamente pelo sistema x 2 + z 2 = 1 y 2 + z 2 = 1 a) Expresse d y d x e d z d x em termos de x , y e z .b) Determine u