Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 32

Utilize coordenadas esféricas.

Seja H um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base.

a) Determine a massa de H .

b) Determine o centro de massa de H .

c) Determine o momento de inércia de H em relação ao seu eixo.

Passo 1

Vamos lá galerinha, tudo certo? Determinaremos a massa, centro de massa e momento de inércia de um objeto qualquer, que aqui foi chamado de H . Que é um hemisfério sólido que tem um raio a qualquer. Veja:

Vamos tomar nosso hemisfério como sendo a região H = x , y , z x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,   z ≥ 0 } . Além disso, como sua densidade é proporcional a distância até a origem, ela será do tipo:

δ x , y , z = K   x 2 + y 2 + z 2

Temos que passar essa função para coordenadas esféricas. Para isso utilizaremos as seguintes relações:

z = ρ ⋅ cos ⁡ θ

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ

Mas lembre-se que

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Então teremos:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Enquanto a fórmula para a para integração tripla para coordenadas esféricas é a seguinte:

∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

Repare que o termo:

f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   ρ cos ⁡ ϕ

É a função a ser transformada.

Usando coordenadas esféricas:

H = ρ , θ , ϕ   0 ≤ ρ ≤ a ,     0 ≤ ϕ ≤ π 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π }  

δ ρ , θ , ϕ = K ρ

Passo 2

Assim, a massa de H será a integral da densidade no volume:

m = ∭ H δ   d V = ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 K ρ ⋅ ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Assim,

m = 2 π K   ∫ 0 a ρ 3   d ρ ∫ 0 π / 2 s e n   ϕ   d ϕ

Portanto,

m = 2 π K ⋅ a 4 4 ⋅ 1 = π K a 4 2

Passo 3

Para encontrar o centroide, temos que aplicar a seguinte equação:

r - = 1 m ∭ H r   δ   d V

Para cada uma das coordenadas r . Porém pelo desenho da imagem podemos perceber que há uma simetria em relação aos eixos x e y . O que significa que o centroide estará localizado no eixo z e é o único que temos que calcular de fato. Então:

z - = 1 m ∭ H z   δ   d V

Sendo d V = d ρ   .   d θ   .   d ϕ , e sabemos que:

δ ρ , θ , ϕ = K ρ

Então:

Em coordenadas esféricas, z = ρ cos ⁡ ϕ , de modo que

z - = 2 π K a 4 ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 ρ cos ⁡ ϕ ⋅ K ρ ⋅ ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Assim,

z - = 4 a 4 ∫ 0 a ρ 4   d ρ ∫ 0 π / 2 s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ

Portanto, fazendo u = s e n   ϕ ⇒ d u = cos ⁡ ϕ   d ϕ na segunda integral:

z - = 4 a 4 ⋅ a 5 5 ∫ 0 1 u   d u = 2 a 5

O centro de massa está localizado em 2 a 5 de distanciada origem seguindo o eixo z

Ou seja:

0,0 , 2 a 5

Passo 4

O momento de inércia com relação ao eixo z é:

I = ∭ H x 2 + y 2   δ   d V

Em coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 = ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ = ρ 2   s e n 2 ϕ

Assim,

I = ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 ρ 2   s e n 2 ϕ ⋅   K ρ ⋅ ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Portanto

I = 2 π K   ∫ 0 a ρ 4   d ρ ∫ 0 π 2 1 - cos 2 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

Fazendo u = cos ⁡ ϕ na segunda integral, temos que d u = - s e n   ϕ   d ϕ , de modo que

I = 2 π K a 5 5 ∫ 0 1 1 - u 2   d u = 2 π K a 5 5   1 - 1 3 = 4 π K a 5 15

Resposta

a) π K a 4 2

b) 0 ,   0 , 2 a 5

c) 4 π K a 5 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .Encontre o momento de inércia em relação ao eixo z do cone sólido x 2 + y 2 ≤ z ≤ h .
Se E o é o sólido do Exercício 18 com função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 , determine as seguintes quantidades, com precisão de três casas decimais.A massaO centro de massaO momento de inércia em
Escreva, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inércia em relação ao eixo z .O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 ; ρ x , y , z = x 2
Escreva, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inércia em relação ao eixo z .O sólido do Exercício 21; ρ x , y , z = x 2 + y 2
Seja E o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 e z = 0 com função densidade ρ x , y , z = 1 + x + y + z . Use um sistema de computação algébrica