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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 17

Suponha que |f (x)| <= x^2 para todo x . Prove que f é contínua em 0 .

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existe delta , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

|x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ

Passo 2

Estamos avaliando a continuidade no ponto p = 0

Como |f (x)| <= x^2 então |f (0)| <= 0 .

Como o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero: |f (0)| >= 0

Então:

0 <= |f (0)| <= 0

Desse modo, f (0) = 0

Assim, para p = 0 , a função é contínua em p se:

|x| < delta => |f (x) - 0| < ϵ

Passo 3

Tomando delta = sqrt(ϵ)

|x| < sqrt(ϵ)

x^2 < ϵ

Como |f (x)| <= x^2 temos:

|f (x)| <= x^2 < ϵ

|f (x)| < ϵ

Assim, provamos que |x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ e consequentemente que f é contínua em p = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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9-14 Determine onde f é contínua.13-f (x) = (a r c s e n ((1)/(x)))/(x)
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