Suponha que você saiba que

f(n) = 4 = [(-1)^n * n!] / (3^n * (n + 1))

e que a série de Taylor de f centrada em 4 converge para f(x) para todo x no intervalo de convergência. Mostre que o polinômio de Taylor de grau 5 aproxima f(5) com erro menor que 0,0002 .

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo joia?

A questão quer que a gente mostre que o polinômio de Taylor de grau 5 aproxima f ( 5 ) com erro menor que 0,0002 .

Para calcular o erro, usaríamos a fórmula

R n = f x - T n

mas temos um problema aqui, consegue ver qual?

Nós não temos a função, então não conseguimos calcular o erro exato, mas podemos estima-lo. Podemos ver que o termo geral da série vai ter um - 1 n , ou seja, temos uma série alternada, então podemos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas:

R n x = b n + 1

Vamos lá!

Passo 2

O Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se

f x = ∑ - 1 n b n

Então

R n x ≤ b n + 1

Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo.

A nossa série é uma série de Taylor que é do formato

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Nós temos f n ( 4 ) , então temos que a série é

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n ( n + 1 ) x - 4 n

Pra que precisamos da série? Não precisamos na verdade, só precisamos do termo geral para calcular o próximo termo após o quinto grau.

Passo 3

Nossa desigualdade para calcular o erro é:

R n x ≤ b n + 1

Como temos que calcular f ( 5 ) por um polinômio de Taylor de grau 5 , temos que:

R 5 x ≤ b 6

b 6 é o sexto termo da nossa série, com n = 6 , então:

b 6 = - 1 6 3 6 ( 6 + 1 ) x - 4 6

Simplificando e substituindo na nossa inequação:

R 5 x ≤ x - 4 6 3 6 ( 7 )

Como estamos estimando f ( 5 ) , substituímos x = 5 :

R 5 5 ≤ 5 - 4 6 3 6 ( 7 )

Agora fazemos as contas:

R 5 5 ≤ 1 6 729 ⋅ 7

Como dentro do módulo só temos termos positivos, podemos eliminá-los.

R 5 5 ≤ 1 5103

Calculando a fração:

R 5 5 ≤ 0,0001959 …

E como 0,0001959 … < 0,0002 , o nosso erro R 5 5 ≤ 0,0002 .

Resposta

Demonstração feita!

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