Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 30
Suponha que você saiba que
e que a série de Taylor de centrada em converge para para todo no intervalo de convergência. Mostre que o polinômio de Taylor de grau aproxima com erro menor que .
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo joia?
A questão quer que a gente mostre que o polinômio de Taylor de grau 5 aproxima com erro menor que .
Para calcular o erro, usaríamos a fórmula
mas temos um problema aqui, consegue ver qual?
Nós não temos a função, então não conseguimos calcular o erro exato, mas podemos estima-lo. Podemos ver que o termo geral da série vai ter um , ou seja, temos uma série alternada, então podemos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas:
Vamos lá!
Passo 2
O Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se
Então
Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo.
A nossa série é uma série de Taylor que é do formato
Nós temos , então temos que a série é
Pra que precisamos da série? Não precisamos na verdade, só precisamos do termo geral para calcular o próximo termo após o quinto grau.
Passo 3
Nossa desigualdade para calcular o erro é:
Como temos que calcular por um polinômio de Taylor de grau , temos que:
é o sexto termo da nossa série, com , então:
Simplificando e substituindo na nossa inequação:
Como estamos estimando , substituímos :
Agora fazemos as contas:
Como dentro do módulo só temos termos positivos, podemos eliminá-los.
Calculando a fração:
E como , o nosso erro .
Resposta
Demonstração feita!