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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 1c

Calcule

underset(t -> 2)(lim) vec r ( t )

onde

vec r (t) = (t^3 - 8)/(t^2 - 4) vec i + (cos (pi)/(t))/(t - 2) vec j + 2 t vec k

Passo 1

Para calcular o limite de uma função de uma variável com imagem no R^n , calculamos o limite de cada coordenada separadamente.

Se vec r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , vamos calcular primeiramente o limite de x

underset(t -> 2)(lim) (t^3 - 8)/(t^2 - 4)

Temos neste caso uma indeterminação do tipo 0 // 0 , então vamos usar L’Hospital

= underset(t -> 2)(lim) (3 t^2)/(2 t) = underset(t -> 2)(lim) (3)/(2) t = 3

Passo 2

Agora da coordenada y

underset(t -> 2)(lim) (cos (pi)/(t))/(t - 2)

Novamente temos uma indeterminação, vamos usar L’Hospital mais uma vez

= underset(t -> 2)(lim) ((pi)/(t^2) * sen (pi)/(t))/(1) = (pi)/(4)

Passo 3

E da coordenada z

underset(t -> 2)(lim) 2 t = 4

Então, temos que o limite da nossa função vec r quando t -> 2 é

underset(t -> 2)(lim) vec r ( t ) = 3 vec i + (pi)/(4) vec j + 4 vec k

Resposta

3 vec i + (pi)/(4) vec j + 4 vec k

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