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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 61

Verifique se a conclusão do Teorema de Clairut é válida, isto é, u x y = u y x .

u = cos ⁡ ( x 2 y )

Passo 1

Oiee, vamos resolver mais uma atividade.

Dada a função:

u = cos ⁡ ( x 2 y )

A questão pede para você verificar se é possível inverter a ordem das derivadas mistas e termos o resultado:

u x y = u y x

Para isso, vamos calcular essas derivadas e compará-las!

O processo de derivação parcial de uma função é feito da seguinte forma, derivamos em relação a variável que queremos, e as outras variáveis serão consideradas constantes.

Aqui devemos nos atentar para a necessidade de se utilizar a regra do produto, pois mesmo em determinados momentos teremos o produto entre duas funções que não poderão ser consideradas constantes.

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Deveremos também utilizar a regra da cadeia, por conta da composição de funções aqui.

Passo 2

A primeira derivada com relação a x é

u = cos ⁡ ( x 2 y )

Aplicando a regra da cadeia:

u x = ∂ ∂ x ⋅ cos ⁡ g x ∂ ∂ x ⋅ x 2 y

u x = - s e n   x 2 y ⋅ 2 x y

u x = - 2 x y   s e n   ( x 2 y )

Com relação a y :

u = cos ⁡ ( x 2 y )

u y = ∂ ∂ y ⋅ cos ⁡ g y ∂ ∂ y ⋅ x 2 y

u y = - s e n   x 2 y ⋅ x 2

u y = - x 2 s e n   ( x 2 y )

Como queremos as derivadas mistas, vamos derivar u x com relação a y , agora precisaremos utilizar a regra da cadeia e a regra do produto:

u x = - s e n   x 2 y ⋅ 2 x y

u x y = ∂ ∂ y - sin ⁡ x 2 ⋅ y ⋅ 2 x y + - sin ⁡ x 2 y ⋅ ∂ ∂ y 2 x y

u x y = - 2 x   s e n   x 2 y - 2 x y cos ⁡ x 2 y ⋅ x 2

u x y = - 2 x   s e n   x 2 y - 2 x 3 y cos ⁡ x 2 y

Derivando u y com relação a x :

u y = - x 2 s e n   x 2 y

u x y = �� ∂ x - x 2 s e n   x 2 y ⋅ 2 x y + - sin ⁡ x 2 y ⋅ ∂ ∂ x 2 x y

u y x = - 2 x   s e n   x 2 y - x 2 cos ⁡ x 2 y ⋅ 2 x y

u y x = - 2 x   s e n   x 2 y - 2 x 3 y cos ⁡ x 2 y

Vemos que de fato:

u x y = u y x

Vale o Teorema de Clairut!

Resposta

Sim

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