Suponha que y = g ( x ) seja diferenciável no intervalo aberto I e da dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Suponha, ainda, ∂ f ∂ y x , y ≠ 0 em D f .a) Prove que ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 0 é uma condição necessária para que x 0 seja ponto de máximo local de g .b) Prove que g ' ' é contínua em I .c) Prove que ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 0 ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ x ∂ y + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 30e m ( x 0 , y 0 ) é condição suficiente para que x 0 seja ponto de máximo local de g .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 5

Suponha que seja diferenciável no intervalo aberto e da dada implicitamente pela equação , onde é suposta de classe . Suponha, ainda, em .

a) Prove que é uma condição necessária para que seja ponto de máximo local de .

b) Prove que é contínua em .

c) Prove que

é condição suficiente para que seja ponto de máximo local de .

Passo 1

Bom, a questão dá uma função dada implicitamente pela equação onde é uma função bem-comportada de classe . São pedidas várias considerações quanto ao fato de ser ponto de máximo local de .

Para isso, lembre-se que para funções deriváveis de uma variável (que é o caso de ), uma condição necessária para que seja um máximo local é que ele seja um ponto crítico, de modo que

Mas do teorema da função implícita, temos que

Assim, a condição implica

Resolvemos o item (a)!

Passo 2

No item (b) devemos mostrar que é contínua. Para isso, temos que derivar :

Na passagem anterior usamos a regra do quociente! Lembre-se que apesar de aparecer a variável lá no meio, tudo é função de .

Agora vamos usar a regra da cadeia:

Eu pude inverter as derivadas parciais mistas pois é de classe . Além disso,

Assim, substituindo essas duas relações:

Note que é composta por primeiras e segundas derivadas de . Como é de classe , todas essas derivadas são contínuas. Assim, também será contínua!

Passo 3

Por fim, temos que achar as condições suficientes para que seja máximo local de . No item (a) mostramos que

é uma condição necessária, mas não suficiente. A condição que será suficiente, pelo teste da segunda derivada, é

Assim, devemos ter

Usando a expressão de dada pelo teorema da função implícita, chegamos em

Resposta

Demonstração.

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