Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 5
Suponha que seja diferenciável no intervalo aberto e da dada implicitamente pela equação , onde é suposta de classe . Suponha, ainda, em .
a) Prove que é uma condição necessária para que seja ponto de máximo local de .
b) Prove que é contínua em .
c) Prove que
é condição suficiente para que seja ponto de máximo local de .
Passo 1
Bom, a questão dá uma função dada implicitamente pela equação onde é uma função bem-comportada de classe . São pedidas várias considerações quanto ao fato de ser ponto de máximo local de .
Para isso, lembre-se que para funções deriváveis de uma variável (que é o caso de ), uma condição necessária para que seja um máximo local é que ele seja um ponto crítico, de modo que
Mas do teorema da função implícita, temos que
Assim, a condição implica
Resolvemos o item (a)!
Passo 2
No item (b) devemos mostrar que é contínua. Para isso, temos que derivar :
Na passagem anterior usamos a regra do quociente! Lembre-se que apesar de aparecer a variável lá no meio, tudo é função de .
Agora vamos usar a regra da cadeia:
Eu pude inverter as derivadas parciais mistas pois é de classe . Além disso,
Assim, substituindo essas duas relações:
Note que é composta por primeiras e segundas derivadas de . Como é de classe , todas essas derivadas são contínuas. Assim, também será contínua!
Passo 3
Por fim, temos que achar as condições suficientes para que seja máximo local de . No item (a) mostramos que
é uma condição necessária, mas não suficiente. A condição que será suficiente, pelo teste da segunda derivada, é
Assim, devemos ter
Usando a expressão de dada pelo teorema da função implícita, chegamos em
Resposta
Demonstração.