Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3
Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável . Expresse e em termos de e .
b)
Passo 1
A questão pede mostrarmos que as equações dadas definem alguma função diferenciável . Para isso, temos que recorrer ao teorema da função implícita.
O primeiro passo é definir as funções:
Para que as hipóteses do teorema sejam válidas, devemos achar pelo menos um ponto para cada função tal que (ou ) e que
Passo 2
Vamos fazer primeiro o item (a) com . Temos que
Escolhendo o ponto , temos que
Portanto vale o teorema da função implícita e, assim, a equação define pelo menos uma função cujas derivadas são:
Passo 3
Já no item (b) com , temos que
Escolhendo , temos que e
Assim, vale o teorema da função implícita e a equação dada define pelo menos uma função do tipo com derivadas:
Resposta
a)
b)