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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 7

Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .

7. z = x^2 y^3 , x = s cos t , y = s sen t

Passo 1

Opaa... Lembra da regra da cadeia??

Aqui vai ser assim, oh:

- para s :

(del z)/(del s) = (del z)/(del x) * (del x)/(del s) + (del z)/(del y) * (del y)/(del s)

- para t :

(del z)/(del t) = (del z)/(del x) * (del x)/(del t) + (del z)/(del y) * (del y)/(del t)

Passo 2

Então bora meter bronca e calcular esse monte de derivada:

Derivada de z :

(del z)/(del x) = 2 x y^3

(del z)/(del y) = 3 x^2 y^2

Derivada de x :

(del x)/(del s) = cos t

(del x)/(del t) = - s sen t

Derivada de y :

(del y)/(del s) = sen t

(del y)/(del t) = s cos t

Passo 3

Agora é só fazer a regra da cadeira:

Em relação a s :

(del z)/(del s) = (del z)/(del x) * (del x)/(del s) + (del z)/(del y) * (del y)/(del s)

(del z)/(del s) = (2 x y^3) * (cos t) + (3 x^2 y^2) * (sen t)

Em relação a t :

(del z)/(del t) = (del z)/(del x) * (del x)/(del t) + (del z)/(del y) * (del y)/(del t)

(del z)/(del t) = (2 x y^3) * (- s sen t) + (3 x^2 y^2) * (s cos t)

E acabamos... Podemos parar por aqui...

Se substituir x e y ta certo também, mas só vai dar trabalho.

Partiu pra próxima???

Resposta

(del z)/(del s) = 2 x y^3 c o s (t) + 3 x^2 y^2 s e n (t)

(del z)/(del t) = - 2 s x y^3 s e n (t) + 3 x^2 y^2 s c o s (t)

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